M矩阵判定定理及证明.docVIP

M矩阵的性质、判定定理及证明 一、M矩阵背景介绍： 1、M矩阵是计算数学中应用极其广泛的矩阵类 。M矩阵是L矩阵的一种，M矩阵要求它自身的逆矩阵为一个非负矩阵。 2、首先，L矩阵的定义为：若A一个n*n的方阵，若 而(i ≠j)，则称A为L矩阵。 3、关于M-矩阵的一篇最早的论文发表于1887年，Stieltje证明了一个具有非正非对角元的，非奇异对称对角占优矩阵的逆是一个非负矩阵。之后，1937年Ostrowski提出M矩阵的定义为：具有非正非对角元，且逆是非负矩阵。近年来，国内外的许多数学工作者对M矩阵判定方法的研究都极为重视，并开展了深入的研究工作，给出了许多判定方法。但就目前的研究成果来看，所提出的M矩阵的判定方法仅是、且仅能对M矩阵作整体判定，这对高阶矩阵来说，在计算上较为困难，判定方法难以实现，因而现有M矩阵的判定方法存在着相当大的局限性。 二、M矩阵的概念 定义1 设，且，，，称A为M矩阵。 定义2 设，且，若为M矩阵，则称A为逆M矩阵。 引理1 如果，且，，A为M矩阵的充要条件是A可做三角分解，,其中L为下三角阵，R为上三角阵，L和R的主对角元都是正值。 三、M矩阵的判定定理与证明 定理1 若为M矩阵，则，其中下三角阵L和上三角阵R的主对角线元素为正，且其余元素为非正值。 证明 若A为M阵，则当，；，。由引理1，A可做三角分解。设 ， 则， 故。 因，故；因故；因，故，从而；因，故。类似的有，（）。又因有及故相应有，。类似的有，（）。 假设时有，，（），当时，由于，故。又由于，故；类似的可得到，（）。证毕。 定理2 设，的代数余子式为，，如果则为M矩阵的充要条件。 证明 必要性：如果为M矩阵，由于，故 。 充分性：由于，且，，就由定义1知为M矩阵，证毕。 定义3 设有n阶矩阵，如果存在正向量X（即它的分量都是正值），使得成立，则称A为拟对角占优。 引理2 设，满足，并且矩阵为拟对角占优，则A为M矩阵。 定理3 设，如果 则A为M矩阵（其中）。 证明 若 对 皆成立，则由定义3 知为拟对角占优。由引理2知A为M矩阵，为此，只需证明对某个有的情形。不失一般性，不妨设。由 ,可得 用乘以矩阵B的第一列，得新矩阵，则有 ， 再假设，用r乘以矩阵的第二列得到新矩阵，则有 ， ， ， 于是为强对角占优，故B为拟对角占优。由引理2知A为M矩阵。 定理4 设，设 ， ， ， ， 若对任意，恒有，则A为M矩阵。 证明 令：， 由于，故，取 做 得，则当时，有， 如果，显然有 。 当时有 ， 于是知为强对角占优矩阵，由定义3知B为拟对角占优矩阵，因此，根据引理2知A为M矩阵。证毕。 定理5 如果存在正对角阵D，使AD为拟对角占优阵，则A为拟对角占优阵。 证明 因为存在正对角阵D，使为拟对角占优，则存在正对角阵，使为强对角占优。又因仍为正对角阵，故A为拟对角占优阵。证毕。 定理6 设，且对任意的有 （1） 并且对全体等号成立的，存在非零元素链 ，使得 成立，则A为M矩阵。 证明 由于，故。取 ， 做得，则当时，有 如果，显然有 。 当时，有 ， 反之，若对使式（1）成立的，存在非零元素链，使得 成立 则由前分析知为具有非零元素链的对角占优矩阵，并且通过文献知道为半强对角占优矩阵。故为拟对角占优矩阵，从而B为拟对角占优矩阵，由引理2知A为M矩阵。证毕。 关于M矩阵新的判定方法 利用逐次降阶的方法，使一个任意阶的矩阵A所对应的逐次降为最后只需利用定义，就可判定矩阵是否满足要求，而无须要求理解定理。从而得出结论，如果是M矩阵，则A亦是M矩阵。 1 判定方法 定义1 设A为阶方阵，若对任意的则称A为正定矩阵。 定义2 设则称A为M矩阵。 定义3 设存在正对角阵D，使AD为正定矩阵，则称A为广义正定矩阵。 引理1 设，且，则A为M矩阵的充要条件是为广义正定矩阵。 引理2 设，且，是阶可逆方阵，则A为广义正定矩阵的充要条件是为广义正定矩阵。 引理3 设设，且，，是阶可逆方阵，则A为M矩阵的充要条件是为广义正定矩阵。 引理4 ，且，若为M矩阵，则A为M矩阵。 定理1 设，，如果,为广义正定矩阵，则A为M矩阵。 证明 取 则 由于，为广义正定矩阵，故为广义正定矩阵，故为M矩阵，所以A为M矩阵。 定理2 设 ，，且若为广义正定矩阵，则A为M矩阵。 证明 设，则，其中 （所以，只需证为广义正定矩阵） 取，得 由已知条件，得为广义正定矩阵，故为广义正定矩阵，故为广义正定矩阵，因此为广义正定矩阵，所以为M矩阵，即A为M矩阵。 定义6 若正定，则称A实部正定。 定义