l线性代数第四章相似矩阵习题.docVIP

第四章 相似矩阵 1．试用施密特法把下列向量组正交化： (1)　； (2)　 解　(1)　根据施密特正交化方法: 令，， ，故得: ． 2．下列矩阵是不是正交阵: (1)　; (2)　． 解　　(1)　第一个行向量非单位向量,故不是正交阵． (2)　该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵． 3．设与都是阶正交阵，证明也是正交阵． 证明 因为是阶正交阵，故， ，故也是正交阵． 4．求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); (2); (3). 并问它们的特征向量是否两两正交? 解 (1)　①　 故的特征值为． ②　当时,解方程,由 得基础解系 所以是对应于的全部特征值向量． 当时,解方程,由 得基础解系 所以是对应于的全部特征向量． ③　 故不正交． (2)　①　 故的特征值为． ②　当时，解方程，由 得基础解系 故是对应于的全部特征值向量. 当时,解方程，由 得基础解系 故是对应于的全部特征值向量； 当时，解方程，由 得基础解系 故是对应于的全部特征值向量． ③　，， ，所以两两正交． (3)　 = , 当时， 取为自由未知量，并令，设. 故基础解系为 当时， 可得基础解系 综上所述可知原矩阵的特征向量为 5．设方阵与相似，求. 解 方阵与相似，则与的特征多项式相同，即 ． 6．设都是阶方阵，且，证明与相似． 证明 则可逆 则与相似． 7．设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依次为 ，，，求. 解 根据特征向量的性质知可逆, 得: 可得得 8．设3阶对称矩阵的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为 ,求. 解 设由，知① 因为3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1， 故利用①可推出秩为1. 则存在实的使得②成立． 由①②解得．得． 9．试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵: (1);　　(2)． 解　　(1)　 故得特征值为． 当时，由解得 单位特征向量可取: 当时,由解得 单位特征向量可取: 当时,由　　解得． 单位特征向量可取: 得正交阵， (2)， 故得特征值为 当时，由解得 此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量 ，单位化得 当时,由解得 单位化:得正交阵 ． 10．(1)　设，求； (2)　设,求． 解　　(1)　是实对称矩阵. 故可找到正交相似变换矩阵使得 从而 因此 ． (2)　同(1)求得正交相似变换矩阵 使得 ．