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《线性代数与空间解析几何》 研究型、应用型、综合型题目 1.一般的数字可看作零维数组，向量可看作一维数组，矩阵可看作二维数组，那么三维数组能作为一个代数概念来看待吗？其相应运算如何定义？变换如何执行？有何应用？ 提示：可参照矩阵的运算作相应的定义。 干泰彬 2. 类似于行列式的定义我们定义新的代数概念如下： 一阶： 二阶： 三阶： ……………………………… 类似地可对n阶的情况给出定义。请问这一个新的代数概念，其性质如何？有何应用？ 提示：可类比行列式的性质作相应的讨论。 干泰彬 3. 设方阵定义其中为元素在矩阵A中的余子式，试问有什么性质？ 提示：可类比伴随矩阵作出讨论。 干泰彬 4.任意给定一个2阶实矩阵, 能否找出所有与A可交换相乘的矩阵? 如果给定的矩阵是实对称矩阵, 结论如何? 提示：（1）根据可交换条件AB=BA作讨论； （2）考虑A的特征值与相似对角化, 将一般矩阵问题转化为对角矩阵来讨论. 何军华 房秀芬 5.设n阶矩阵A的各行各列都只有一个元素是1或-1，其余均为0。是否存在正整数k，使得Ak=I ？若是，请给出你的证明；若否，请举出反例。 提示：先观察二、三阶矩阵的情况；对一般矩阵，可考察A2，A3 …的元素特点，找到与A的关系。 房秀芬 6. 矩阵乘法是线性代数中的基本算法之一。对两个n阶矩阵其乘积计算往往需要次乘法和次加法，很长时间以来人们对此深信不疑。然而，1969 年Strassen通过对矩阵乘积元素之间的关系分析，构造出了一种只需次乘法的矩阵相乘运算。其原理是首先将阶的矩阵和进行2X2分块： 然后采用如下7次矩阵乘法和18次矩阵加法： ，；，； ，；. 在上述计算中，对各子块递归使用该Strassen算法，最后获得矩阵。请仔细分析一下上述过程，获得新型的矩阵乘法计算方案，使得计算总量更少。 提示：利用分块和递归技术，并对数据进行合理划分。 李厚彪 7. 设A是n×n矩阵，则A可逆的充分必要条件是存在常数项不为0的多项式g(x)，使得g(A)=0。 提示：利用A的特征多项式证明。 房秀芬 8.矩阵的Kronecker积是一种新的矩阵运算，在信号传输预处理，自动控制，规划理论，图像处理等工程领域中有着广泛的应用。其定义如下： 定义：设则 称为矩阵与的Kronecker积（或称直积，张量积）。 试证明Kronecker积满足下面的几个性质： ；; ; ; ; ; 提示：根据Kronecker积的定义和分块矩阵的乘法证明。 邵晋梁 9.设阶矩阵，其中表示的第i列。定义算符 试通过Kronecker积的定义和该算符将矩阵方程转换成线性方程组的形式，其中， 提示：利用Kronecker积和向量化算符将原方程转换为： 从而将原矩阵方程转换为线性方程组，方便求解。 邵晋梁 10.对于同型矩阵，定义一种乘法运算，使得任意都有 并按照第一题的形式尽可能给出这种矩阵运算的性质。 提示：验证Hadamard积交换律，分配率，结合律，推导其转置运算，逆运算等性质。 邵晋梁 11.(Cayley-Hamilton定理) 若是的特征值，证明 若可逆，通过该式写出的表达式。 提示：利用伴随矩阵的性质及的特征多项式。 邵晋梁 12. 行随机矩阵是指矩阵的行和均等于1的非负矩阵，列随机矩阵是指列和等于1的非负矩阵，而同时满足这两个条件的非负矩阵就是双随机矩阵。请尝试给出随机矩阵的性质和应用。