2016届甘肃省兰州市高三实战考试数学(理)试题(版).docVIP

2016年兰州市高三实战考试 理科数学试题答案及评分参考 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C D A B A C D B D A 11. 解析：渐近线方程是：，设是双曲线上任一点，过平行于的为则的方程为：与交点为则（，），=| | ，点到的距离是： ∵，∴||? .=1，∵，∴，∴，∴． ，不妨设，由于,所以,得因为，所以，所以在内是增函数，所以在内恒成立，即恒成立，所以的最大值，因为时的取值范围为. 二、填空题 13. 14. 15. 解析：是一个常数，设为，则有 所以，解得 故， 16. ①或③ 三、解答题 17. 解：（Ⅰ）设设等差数列的公差为，则由已知得： 即 又，解得或（舍） 所以 ， 又， 所以 所以 ……………6分 两式相减得 则 ……………………12分 ， …………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共人， 随机变量的可能取值为 …………7分 ， , ， …………10分 随机变量的分布列为： 因为 ， 所以随机变量的数学期望为. …………12分 19. 解：（Ⅰ）证明：连结,因,为的中. ∵侧面底面 ∴平面 ， ∵，平面，， …………4分 又，故平面所以． …………6分 解法一：矩形由，所以，不妨设． 底面，为矩形平面 平面 ≌ ∴为直线与平面所成的角 ∴=，=， ∴，∴为等边三角形， …………9分 的中点为，连接，则 在中，过作，交于点，则为二面角=，，所以在中，， ∵ ∴ ∴ ∴ 即二面角的余弦值． …………12分 解法二：取的中点，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．不妨设，，，，，，从而. 设平面的法向量为， 由，得， 可取． 同理，可取平面的一个法向量为 ． 于是，二面角的余弦值为． 解：()由，所以， 将点的坐标代入椭圆方程得， 故所求椭圆方程为 (Ⅱ)设直线的方程为,代入椭圆方程得，显然判别式大于0恒成立，设，的内切圆半径为，， 所以 而 所以 解得, 因为所求圆与直线相切=， 所以所求圆的方程为. ………………12分 21. 解：（Ⅰ）,由题意可得在上恒成立； ∴ ∵，∴， ∴时函数的最小值为， ∴ ………………4分 (Ⅱ) 当时， 令得， 解得或（舍），即 当时，，当时， ∴的极小值为 ………………8分 （Ⅲ）将方程两边同除得 整理得 即函数与函数在上有两个不同的交点； 由（Ⅱ）可知，在上单调递减，在上单调递增 ，当时， ∴ 实数的取值范围为 ………………12分 22. 解： (I)因为是圆的直径， 又，所以 切圆， 得 所以 (II)由(I)知平分， 则， 又，从而， 所以 所以， 由切割线定理得 所以故即圆的直径为.. 23. 解（）由得直线的普通方程为 得圆的直角坐标方程为 即. 5分 (II)的参数方程代入圆的直角坐标方程，得 ，即 由于，故可设是上述方程的两实数根， 所以， 又直线过点，、两点对应的参数分别为、 所以. 10分（）时，等价为 或或 解得或 所以不等式的解集为或 ………………5分 （II） 所以 要使对恒成立，则须即可 所以或 即实数的取值范围是或 ……