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构造角平分线借助其性质解题 在解决三角形的问题中，如果已知条件中涉及到角的平分线，我们则可以考虑利用角的平分线的性质解题.现举例如下. 一、证明线段相等 例1 如图1，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC. 分析：根据已知可知AD是∠BAC的平分线，可通过点D作∠BAC的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面积进行证明. 图1 图2 二、证明两角的和等于180°. 例2 已知，如图2，AC平分∠BAD，CD=CB，ABAD.求证:∠B+∠D=180°. 分析:因为AC是∠BAD的平分线,所以可过点C作∠BAD的两边的垂线,构造直角三角形,通过证明三角形全等解决问题. 三、证明角相等 例3如图3，在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2 分析：要证明AP是∠BAC的平分线，需要证明点P到∠BAC两边的距离相等，可作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，易证PE=PH，PH=PG，从而PE=PG. 图3 图4 四、证明角的平分线 例4 如图4，DA⊥AB，CB⊥AB，P是AB的中点，PD平分∠ADC. 求证：CP平分∠DCB. 分析：因为DA⊥AB，PD平分∠ADC，所以可过点P作PE⊥AC，利用角平分线的性质得到PE=PA，进而可得到PE=PB. 五、求角的度数 例5 如图5，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE的度数. 分析：由于CE平分∠ACB，可过点E作∠ACB的两边的垂线，通过证明DE是∠ADB的平分线解决问题. 图5 “截长补短法”在角的平分线问题中的运用 在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC. 求证：∠BAD+∠BCD=180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB. 求证：CD=AD+BC. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD. 求证：∠BAP+∠BCP=180°. 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2. 求证：AB=AC+CD. 证明：方法一（补短法） 方法二（截长法） 由角平分线引出的线段关系 一.过三角形一边的两个顶点分别作两个内角的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边相截，则截线长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和。 已知：如图1，、的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于D，交AC于E，求证： 图1 二. 过三角形两个外角（或一个内角与一个外角）的平分线的交点作平行截线，三条截线段的关系又怎么样？请看以下例证。 例1. 已知：如图2，D是的外角，的平分线AD、CD的交点，过D作EF//AC，交BA的延长线于E，交BC的延长线于F。 图2 例2. 已知，如图3，D是的内角与外角的平分线BD与CD的交点，过D作DE//BC，交AB于E，交AC于F。试确定EF、EB、FC的关系。 图3 因此，这道习题的命题可推广为： 过三角形一边的两个顶点分别作两个内角或两个外角（一个内角与一个外角）的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边或两边的延长线相截，则截线段的长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和（或差）。 　 　 三角形角平分线的应用例析 三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明． 一、“以角平分线为轴翻折”构造全等三角形 此情形可构造两种基本图形如图1、2所示： 如图1，以AD为轴翻折， 使点C落在AB上（即在AB 上截取AE = AC），得△ACD ≌△AED．如图2，以AD为 轴翻折，使点B落在AC的延 长线上（即延长AC到E，使 AE = AB），得△ABD≌△AED． 例 1 如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB