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2002年全国高中数学联赛试卷 36分，每小题6分） 6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分． 1．函数A　） A）　　　（B）　　　（C）　　　　（D） 2．若实数，则的最小值为（　B　） A）2　　　　（B）1　　　　（C）　　　　（D） 3．函数A　） A）是偶函数但不是奇函数　　　　（B）是奇函数但不是偶函数 C）既是偶函数又是奇函数　　　　（D）既不是偶函数也不是奇函数 4．直线相交于、两点，该椭圆上点，使得△的面积等于3．这样的点 （A）1个　　　　（B）2个　　　　（C）3个　　　　（D）4个 （），即点在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形面积 ∴（此时） ∴的最大值为， 不可能在直线的上方，显然在直线的下方有两个点． 5．已知两个实数集合，若从到的映射使得中每个元素都有原象，且，则这样的映射共有 （A）　　　　　（B）　　　　（C）　　　　　（D） ，将中元素按顺序分为非空的50组．定义映射，使第组的元素在之下的象都是（）． 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射的个数与按足码顺序分为50组的分法数相等，而的分法数为，则这样的映射共有． 6．由曲线，，围成的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为；满足，，的点组成的图形轴旋转一周所得的旋转体的体积为，则 （A） B）　 C） D） 轴旋转所得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间．用任意一个与轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为，则所得截面面积 ，∴ 二、填空题（本题满分54分，每小题9分，本题共有6个小题，要求直接将答案写在横线上．） 7．已知复数满足，．若它们所对应的向量的夹角为，则． 8．将二项式降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中的幂指数是整数的项共有　　3　　 9．已知点（）有　33　 10．已知上的函数，且对任意都有 　　　　 若，则　　　　　　． ，得，所以 ， ∴ 即是周期为1的周期函数，又，故 11．若的最小值是　　　　　　　． 解： 由对称性只考虑，因为，所以只须求的最小值． 公代入，有． 的二次方程显然有实根，故，∴ ，时，．故的最小值为 12．使不等式 恒成立的负数的取值范围是　　　　　　　　． ∵，， 时，函数有最大值， ，整理得 或，又，∴ 60分，每小题20分） 13．已知点上两点使得，求点的纵坐标的取值范围． 解：设点坐标为，点坐标为． ，故 ，所以 ，消去，注意到得： 解得：或． 时，点的坐标为；当时，点的坐标为，均满足是题意．故点的纵坐标的取值范围是或． 14．如图，有一列曲线所围成的图形是面积为1的等边三角形，进行如下操作：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（）．记为曲线所围成图形的面积． （1）求数列的通项公式； 2）求． 1）对进行操作，容易看出的每条边变成的4条边，故的边数为；同样，对进行操作，的每条边变成的4条边，故的边数为，从而不难得到的边数为． 的面积为，比较与．容易看出在的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而有3条边，故 与，可知在的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而有条边，故 于是有 　　　　　 以下用数学归纳法证明成立． 时，由上面已知等式成立 假设时，有 时，易知第次操作后，比较与，在的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而有条边，故 成立． （2）． 15．设二次函数）满足条件： （1）当时，，且； 2）当时，； 3）在上的最小值为0． （），使得存在，只要，就有． ，∴函数的图象关于对称， ， 3）知，时，，即， 1）得，由（2）得 ，即，又＝0 ，，，∴ ，只要，就有． 有．即，解得． ，取，有，即， ， 于是有 当时，对任意的，恒有 所以的最大值为9． 2002年全国高中数学联赛加试试卷 50分） 中，，，点是外心，两条高、交于点．点、分别在线段、上，且满足．求的值． 上取，边接． ，由三角形垂心的性质知 ∴四点共圆． ，， ≌△ ∵， ， ，，则； ，，∴ ，故． 50分） 和正数使得有三个实根，且满足 1）； 2）． 的最大值． 所以是方程的两个根，由（1）可得 再由（2）可得，且 由可得 ，得 ，则，且 ，则，且 所以 于是，由此得 ，，，，则有根，，0，显然假设条件成立，且． 的最大值为． 50分） 国教练为了考察，这七名队