[13年高考真题——理科数学北京卷.docVIP

2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京）卷 数学（理科） 一．选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1．已知集合，，则（ ） （A） （B） （C） （D） 2．在复平面内，复数对应的点位于（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3．“”是“过坐标原点”（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） （A）1 （B） （C） （D） 5．函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则（ ） （A） （B） （C） （D） 6．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） （A） （B） （C） （D） 7．直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与所围图形的面积等于（ ） （A） （B） （C） （D） 8．设关于的不等式组表示的平面区域内存在点，满足，求得的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 二．填空题：共6题，每小题5分，共30分。 9．在极坐标系中，点到直线的距离等于_____。 10．若等比数列满足，，则公比_______；前项_____。 11．如图，为圆的直径，为圆的切线，与圆相交于，若，，则__________，__________。 12．将序号分别为的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________。 13．向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则__________。 14．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为__________ 三．解答题：共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分）在中，，，。⑴求的值； ⑵求的值。 16．（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天。⑴求此人到达当日空气重度污染的概率；⑵设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望；⑶由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 17．（本小题共14分）如图，三棱柱中，是边长为的正方形。平面平面，，。⑴求证：平面；⑵求二面角的余弦值；⑶证明：在线段上存在点，使得，并求的值。 18．（本小题共13分）设为曲线在点处的切线。⑴求的方程；⑵证明：除切点之外，曲线在直线的下方。 19．（本小题共14分）已知是椭圆上的三个点， 为坐标原点。⑴当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；⑵当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由。 20．（本小题共13分）已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，。⑴若为，是一个周期为4的数列（即对任意，），写出，，，的值；⑵设是非负整数，证明：的充分必要条件为是公差为的等差数列；⑶证明：若，，则的项只能是1或者2，且有无穷多项为1。 2013年普通高校招生全国统考数学试卷（北京卷）解答 一．BDACD BCC 二．9．1；10．2，；11．，4；12．96；13．4；14． 15．解：⑴由题，即，故； ⑵由⑴知，故，因此，有，所以。 16．解：设表示事件“此人于3月日到达该市”（），则，且。⑴设表示事件“此人到达当日空气重度污染”，则，故； ⑵由题，且 0 1 2 ，， 。故的分布列如右表所示，且的数学期望； ⑶从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大。 17．解：⑴由题为正方形，故。因平面平面，且垂直于这两个平面的交线，所以平面； ⑵由⑴知，，且，，，故，因此可以如图建立空间直角坐标系，则，，，。设平面的法向量为，则，即 ，取得。同理可得平面的法向量为，故。由题知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为； ⑶设是直线上一点，且，则，解得，故。由可得。因此在线段上存