函数背景下的不等式问题..docVIP

函数背景下的不等式问题 长沙市十五中高三数学备课组 颜志明 胡超祖 贺祥 邹文 1.考纲要求 * 函数 （1）了解映射的概念，理解函数的概念。 （2）了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法。 （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。 （4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。 （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。 （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。 * 不等式 （1）理解不等式的性质及其证明。 （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单应用 （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 （4）掌握简单不等式的解法。 （5）理解不等式： 2. 函数与不等式的相依关系 函数与不等式的关系实际上是等与不等的关系，等与不等的关系，既对立又统一，相互依存。如含一个未知数的不等式均可化为＞0或＜0的形式，这就是函数的函数值大于零或函数值小于零，解不等式就是求函数值对应的x的范围。对不等式的研究，可以了解函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及函数图象的形状、范围，同时不等式也是研究函数极值的重要工具，可以说离开了不等式的研究就认识不了函数。函数是高中数学的基石，高等数学的灵魂，而不等式是研究函数的工具，它们是初等数学过渡到高等数学的纽带。所以，它们自然成为高考的重点、热点，所以高考中长考不衰。 3. 2004～2005高考试题中解答题函数与不等式情况的横向分析 3.1考题情况列表分析 表Ⅰ 试卷名称 全国1 全国2 全国3 全国4 北京 上海 天津 重庆 湖南 浙江 福建 江苏 广东 辽 宁 题号 19 22 19 18 19、20 18、19 21 20 20 20 21 22 21 18、20、22 分值 12 14 12 12 12、13 12、14 12 12 12 12 14 14 12 12、12、14 表Ⅱ 试卷名称 全国1 全国2 北京理 湖南 浙江文 江西 北（春） 题号 19 17 20 无 20 17 19、20 分值 12 12 14 12 14 13、13 表Ⅲ 试卷名称 考 点 提 要 04`全国1 用导数法求函数的单调区间 04`全国2 用导数法求函数的最大值和证明不等式 04`全国3 有关函数与不等式的应用性问题 04`全国4 求连续函数在闭区间上的最大值和最小值 04`北京 求列车运行误差中参数的范围；有限个正数的大小比较和不等式的证明 04`上海 函数与不等式型的应用性问题；函数的定义域和参数的取值范围 04`天津 三次函数的极值和切线的方程 04`重庆 三次函数的极值和参数的取值范围 04`湖南 函数的单调性与函数在闭区间上的最大值 04`浙江 函数切线的方程与函数的最大值 04`福建 分析分式函数的单调性与求不等式恒成立时参数的取值范围 04`辽宁 解不等式；函数最值的应用性问题；函数的导数与不等式恒成立时参数的取值范围 04`江苏 条件为不等式的不等式的证明 04`广东 函数背景下的解不等式与方程根的判定 05`全国1 函数的最值及参数的取值范围 05`全国2 函数背景下的指数不等式、绝对值不等式的求解 05`江西 函数背景下求解含参不等式 05`浙江 二次函数背景下的解绝对值不等式及求参数的取值范围 05`北京理 抽象函数背景下的不等式证明 05`北京春 分式函数求极值问题 3.2分析与启示 ①从表Ⅰ和表Ⅱ可以看出：2004年15份，2005年7份试卷共25题中，湖北04`和湖南05`没考函数与不等式的解答题，同一份试卷中多的出现3道（04`辽宁），出现2道的有04`北京、04`上海、05`北京。从题次来看，2004年18道题中排在20题后的有11道，占61%。但在2005年的7道题中排在第17题的有2道，排在第19题的有2道，排在第20题的有3道，没有排在第20题后的，这说明函数情景下的不等式问题在高考中有变易的趋势。我们在应考复习中不宜搞得太难，但这个问题在高考中的命中率很高，占到了90%以上，必须引起特别注意。 ②从试题的题型结构上看，应用题有7道，占28%。设一问的有3道题，占12%，设三问的有4道题（都出现在全国试卷中），占16%，其余均为2问题，占72%。 ③从考试内容（表Ⅲ）上看，涉及单调性或最值的有10道题，占40%。求参数的取值范围的有9道题，占36%。恒成立问题有2道，占8%，不等式的证明有4道，占16%。几乎每