(线性代数中的重要概念.docVIP

特征矩阵 方阵，则 ?????? 叫做A的特征矩阵。 行列式是det（）=f()的n次多项式，叫做A的特征多项式。 方程det（）0是的n次方程，叫做A的特征方程，它的根叫做A的特征根或特征值。 性质 设A=的n个特征值为 ， ， 则 1) 2) 3) 若A与B相似）=det( 对角矩阵 ????????????? 性质 设A与B都是对角矩阵，K是数量，则A+B,KA都是对角矩阵。 单位矩阵 1，其余的元素都是零的n阶方阵，叫做n阶单位矩阵，记作E，即 ???????????? 性质 1) |E|=1 2) 若A是与E同阶的方阵，则有AE=EA=A 正交矩阵 （或 ）,则A叫做正交矩阵。 性质 1)?? 若A,B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵。 2)?? 若A是正交矩阵，则也是正交矩阵。 3)?? 若A是正交矩阵，则 detA=1或-1 （det为行列式） 4)????? 若 A= 是正交矩阵，则 ?????? U矩阵 （或 ），则A叫做U矩阵。 性质 1)?? 若A,B都是U矩阵，则AB也是U矩阵。 2)?? 若A是U矩阵，则 也是U矩阵。 3)?? 若A是U矩阵，则 矩阵的秩 A中不为零的子式的最大阶数，叫做A的秩，记为。等于A的行（列）向量组的秩。 当A是方阵且行列式|A|0时，A叫做满秩矩阵；|A|＝0时，A叫做降秩矩阵。 性质 1)r(AB)小于或等于r(A),r(AB)r(B) 2)设A是m行n列矩阵，P是m阶满秩方阵，Q是n阶满秩方阵，则 r(A)=r(PA)=r(AQ) 3)初等变换不改变矩阵的秩。 相似矩阵 X，使 ，则叫做矩阵A与矩阵B相似， 记作AB. 性质 1)?? AA 2)?? 若AB,则BA 3)?? 若AB,BC,则AC. 负矩阵 ，则 叫做A的负矩阵。 性质 1) A+(-A)=(-A)+A=0 2) -(-A)=A 3) A+(-B)=A-B 元素都是零的矩阵，叫做零矩阵，记作0. 性质 1)?? A+0=0+A=A 2)?? 0A=A 3)?? 0A=A0=0 矩阵的子式 中，任取k行和k列 ，位于这些行和列的交点上的 个元素原来的次序所组成的k阶方阵的行列式，叫做A的一个k阶子式。 ?? 若，则通常用 表示划去 所在的行和列后余下的n-1阶子式，并把叫做的代数余子式。 分块矩阵 A划分成若干较小的矩阵： ????????????? 其中每个小矩阵 叫做A的一个子块；分成子块的矩阵叫做分快矩阵。 性质 1) 2) 3) ?? 式中?? (k是数量) ?? 注意? 用性质1）时，A与B的分块方法须完全相同；用性质3）时，A的列的分法与B的行的分法须相同。 逆矩阵 AB=BA=E,则A与B互为逆矩阵，记作 或 性质 1) 存在的充要条件是 2) 3) 4) ,(数量 ) 5) 6) 求法 1)????? 设 A= ,则 ??????????? 式中 是的代数余子式； adjA叫做A的伴随矩阵。 2) 用行的初等变换把(A E)化为(E B),则 3)分块求逆： ????????????? 式中 　 　 复共轭矩阵 ，则 叫做A的共轭矩阵，其中 是复数 的共轭复数。 性质 1) 2) 3) 4) (k是复数) 5) 线性相关 中有一向量可以经其余的向量线性表出，这个向量组就叫做线性相关。 性质 1） m个不全为零的数 ，使 ???????????????? 2）向量组中如果有一部分向量线性相关，则这个向量组必线性相关。 3）含有零向量的向量组必线性相关。 线性无关 性质 1） 时，必有 。 2） 如果向量组线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关。 n维向量的运算 1） 加、减法 ， ，则 ??????? ? 2） 数乘 k是数量， 则 ??? ????????k= 3） 运算规律 是n维向量，k、l是数量，则 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ n维向量的相等 =( ), ，当且仅当 时， n维向量空间 n维向量的运算n维向量的集合，叫做n维向量空间，记做 。 性质 中任意n+1个向量必线性相关，切存在n个线性无关的向量，例如 。 Vn的基、维数和坐标 n个线性无关的向量，叫做 的一组基。n叫做 的维数。 性质 中任一向量可经它的一组基线性表出，表达式中的系数叫做向量在这个基下的坐标。 Vn的子空间 的所有可能的线性组合 （ 是任意数量）构成的向量集合U, 叫做的一个（线性）子空间。叫做U的生成向量组。 U的生成向量组不唯一，但是同秩。 性质 1） 若 2） 若 k是数量，则 3） 4） 若 子空间的基和维数 U