8.9直线与圆锥曲线的位置关系讲诉.ppt

【解析】方法一：由于A，B两点关于直线y=4x+m对称，所以 设直线AB的方程为y=- x+b，即x=-4(y-b)，将其代入 =1，得:13y2-24by+12b2-3=0，其判别式Δ=(-24b)2- 4×13×(12b2-3)0，解得：b2 ①，设A(x1,y1),B(x2,y2), 线段AB的中点为M0(x0,y0), ∴y1+y2= ,x1+x2=-4(y1-b)-4(y2-b)= ∴M0( ), 又M0在y=4x+m上，∴有 ∴b= ② 将②代入①解得 方法二：设A(x1,y1),B(x2,y2), 线段AB的中点M(x,y)，kAB= x1+x2=2x,y1+y2=2y, 3x +4y =12 ① 3x +4y =12 ② ①②两式相减得 即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部， 答案: 【拓展提升】 1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题. 【提醒】在研究方程组是否有实数解或实数解的个数问题时，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法. 2.曲线上存在关于直线对称的两点问题的解法及关键 (1)解法：转化为过两对称点的直线与曲线的相交问题求解. (2)关键：使用两对称点的连线与对称轴垂直，两点的中点在对称轴上. 【变式备选】(1)若直线mx+ny=4与⊙O:x2+y2=4没有交点， 则过点P(m,n)的直线与椭圆 =1的交点个数是( ) (A)至多为1 (B)2 (C)1 (D)0 【解析】选B.由题意知： 2，即 2， ∴点P(m,n)在椭圆 =1的内部，故所求交点个数是2个. (2)过双曲线x2- =1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有( ) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 【解析】选C.由于a=1，所以2a=24，数形结合知，当A，B在左右两支上时有2条，又过右焦点垂直于x轴的弦长恰好为4，故A，B同在右支上时，有1条.所以共3条. 考向 2 与弦长、弦中点及弦端点相关的问题 【典例2】(1)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为 F(0，-1)，直线l与抛物线C相交于A，B两点.若线段AB的 中点为(2，-2)，则直线l的方程为_______. (2)过抛物线y2=4x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点， 如果 则直线AB的方程是______. (3)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，直线y=x+1与 该椭圆相交于P，Q，且OP⊥OQ，|PQ|= 求椭圆的方程. 【思路点拨】(1)涉及弦的中点、斜率问题可利用点差法求解. (2)关键将弦的端点满足的向量关系转化为其横坐标大小关系，从而构建方程求解. (3)设出椭圆方程，与直线方程联立，利用OP⊥OQ及弦长 |PQ|= 构建方程(组)求解. 【规范解答】(1)由题意知，抛物线的方程为x2=-4y， 设A(x1,y1),B(x2,y2)，且x1≠x2,联立方程得 两式相减得 =-4(y1-y2), ∴直线l的方程为y+2=-(x-2),即y=-x. 答案:x+y=0 (2)由已知抛物线y2=4x的焦点F(1，0)，显然满足题意的直 线斜率存在，设为k,则直线的方程为y=k(x-1),将其代入y2= 4x,整理得k2x2-2(k2+2)x+k2=0(k2≠0) ① 其判别式Δ=16(k2+1)0, 设A(x1,y1),B(x2,y2)且由 不妨设x1x2. 由①解得x1= 又 得(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2), 得1-x1=2(x2-1),即x1+2x2=3, 亦即： 解得k=±2 ,∴所求直线方程为y=±2 (x-1), 即4x- y-4=0或4x+ y-4=0. 答案:4x- y-4=0或4x+ y-4=0 (3)设椭圆方程为ax2+by2=1( 0)， 且设P(x1,y1),Q(x2,y2). Δ=4b2-4(a+b)(b-1)=4(a+b-ab). ∵OP⊥OQ,∴ ∴x1x2+y1y2=0. ∴x1x2+(x1+1)(x2+1)=0, ∴2x1x2+x1+x2+1=0 ③ ①②代入③得 ∴a+b=2, ∵|PQ|2=(x1-x2)2+