数值计算课件——第二章非线性方程的数值解法解析.pptVIP

求方程f(x)=0的根的二分法算法 例题 例2.2.1 试用迭代法求方程 在区间(1，2)内的实根。 解：由 建立迭代关系 k=10,1,2,3……. 计算结果如下: 例题 精确到小数点后五位 例题 但如果由 建立迭代公式 仍取 ，则有 ， 显然结果越来越大， 是发散序列 例题 例： 证明函数 在区间[1，2]上满足迭代收敛条件。 证明： 例题 例题 若取迭代函数 ， 不满足收敛定理，故不能肯定 收敛到方程的根。 例题 例1: 用Newton法求 的近似解。（取8位有效数字）。 解：由零点定理。 例题 例题 例2: 用Newton法计算 。 解： Newton迭代法算法 各种求根算法共性问题： 非线性方程用数值方法求根时，先要确定有根区间。 对于具有局部收敛性的迭代格式，初值的选取应尽量靠近方程的解。 在讨论各种求根的数值方法的有效性时，要考虑其收敛性，收敛速度和计算量。 掌握如何确定方程的有根区间及用区间二分法确定一个足够好的近似值。 掌握简单迭代法收敛性定理，能灵活运用简单迭代法求非线性方程的根，并判断迭代序列的收敛性。 掌握收敛阶的定义，能确定迭代法的收敛阶，了解迭代法加速原理和算法。 掌握牛顿法、弦截法求根方法的原理。 掌握各种迭代法的误差特性。 掌握算法框图的编制方法。 习题（p52） 3、 6、、16 、 17 ? Aitken 加速： 简单迭代法 x y y = x y = φ(x) x* x0 P(x0, x1) x1 x2 P(x1, x2) 一般地，有： 比 收敛得略快。 ? Steffensen 加速： 2.3 牛顿迭代法 2.3.1 迭代公式的建立 2.3.2 牛顿迭代法的收敛情况 2.3.3 牛顿迭代法的修正法 2.3 牛顿法 原理：将非线性方程线性化 —— Taylor 展开 取 x0 ? x*，将 f (x)在 x0 做一阶Taylor展开: ，? 在 x0 和 x* 之间 。 将 (x* ? x0)2 看成高阶小量，则有： 线性化 x y x* x0 x1 迭代公式： 迭代函数： 牛顿切线法 2.3.2牛顿切线法的收敛情况 定理 （局部收敛性）设函数 在包含 的某邻域内有 阶连续导数， 是方程 的单根，则当初值 充分接近 时，牛顿切线法收敛，且至少为二阶收敛。并有 这里单根意味着： 牛顿切线法 2.3.2牛顿迭代法的收敛情况 定理 设函数 满足 且 在 邻域连续，则牛顿迭代法在 收敛，且至少为二阶收敛。并有 牛顿切线法 证明：牛顿法 事实上是一种特殊的不动点迭代 其中 ，则 收敛 由 Taylor 展开： 只要f ’(x*) ? 0 在单根 附近收敛快 ? 牛顿切线法 注：牛顿法收敛性依赖于x0 的选取。 x* x0 ? x0 ? x0 具有局部恒收敛性，收敛性依赖于初值 的选取。 收敛性好（至少平方收敛） 每次计算要计算导数，效率不高 牛顿法特点： 牛顿迭代法算法框图 牛顿切线法改进 牛顿法的改进与推广 ? 改进一：重根时的收敛速度及改进： Q1: 若　　　 ，牛顿法是否仍收敛？ 设 x* 是 f 的 n 重根，则： 且 。 因为牛顿法事实上是一种特殊的不动点迭代， 其中 ，则 A1: 有局部收敛性，收敛慢（线性收敛）。 Q2: 如何加速重根的收敛？ A2: 修正迭代格式（平方收敛） n 证明过程 见书p42 ?改进二： 牛顿下山法——扩大初值范围的修正牛顿法： 原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f |