数值分析第八章New解析.pptVIP

*/36 解一阶常微分方程欧拉法 Range-Kutta公式 一阶微分方程组与二阶方程 常微分方程边值问题 线性多步法简介 《数值分析》 第八章 ? ? ? ? ? 一阶常微分方程初值问题: 数值方法——取离散点: x0 x1 x2 ··· xn ······ 其中, y = y(x) 是未知函数, f(x, y )是已知函数. 初值 y0 是已知数据。 求未知函数 y(x1), y(x2),····, y(xn), ······的近似值 y1, y2, y3, ·····, yn······· 称为常微分方程的数值解。 这里 是 的数值逼近. 例1. 常微分方程与向量场 平面区域: 0≤ x ≤ 1.5, 0≤ y ≤ 1.5, ? 斜率?方向余弦 取步长 h , 记点: 在第 n 个点处 一阶向前差商: ? ? ? 欧拉公式 初值问题: 例2. Logistic模型 解析解: 欧拉公式 取点 ( xn , yn) , ( n = 0, 1, 2, ··· ) 欧拉公式解的几何解释: 取 x = xn+1 得: yn+1 = yn + h f( xn, yn ) 点斜式直线方程: y = yn + (x – xn) f( xn, yn), 取点 ( xn , yn) ? ( xn+1, yn+1 ) y’ = f (x, y) 梯形公式: 左矩形公式 用数值积分方法离散常微分方程 ? 预-校方法又称为修正的Euler法,算法如下 k1 = f(xn , yn) , k2 = f( xn+1 , yn+ h k1) , 由梯形公式推出的预-校方法: ? 设 yn= y(xn), 称 Rn+1=y(xn+1) - yn+1为局部截断误差. 即 由泰勒公式 Euler公式: yn+1 = yn+ hf (xn, yn) 的局部截断误差 y(xn+1) – yn+1=y(xn) – yn+ O(h2) = O(h2) Euler公式的局部截断误差记为: O(h2) 称Euler公式具有1阶精度。 若局部截断误差为: O(h p +1) 则称显式单步法具有 p 阶精度 。 例 3 证明修正的Euler法具有2阶精度 证 由预测公式 由Taylor 级数 设 局部截断误差: 故修正的Euler法具有2阶精度。 三阶Range-Kutta公式一般形式 yn+1= yn+ h[k1+4k2+k3]/6 k1=f(xn,yn), k2=f(xn+0.5h, yn+0.5hk1) k3=f(xn+h, yn – hk1+2hk2) 四阶Range-Kutta公式一般形式 yn+1= yn+ h[k1+2k2+2k3+k4]/6 k1=f(xn,yn), k2=f(xn+0.5h, yn+0.5hk1) k3=f(xn+0.5h, yn+0.5hk2), k4=f(xn+h, yn+hk3) 例4 数值实验:几种不同求数值解公式的误差比较 n 10 20 30 40 h 0.2 0.1 0.0667 0.05 RK4 6.862e-005 3.747e-006 7.071e-007 2.186e-007 RK3 0.0012 1.529e-004 4.517e-005 1.906e-005 RK2 0.0123 0.0026 0.0011 5.9612e-004 Euler 0.1059 0.0521 0.0342 0.0256 MATLAB求解常微分方程初值问题命令： (1)定义一阶微分方程的右端函数； (2)用MATLAB命令ode23()求数值解。 使用格式：[T,Y] = ode23(F,Tspan,y0) 其中，Tspan = [t0，tN]是常微分方程的求解区域，y0是解的初值 实验例题1 蛇形曲线的常微分方程初值问题 MATLAB数值求解命令 F=inline(1./(1+x.^2)-2*y.^2)； ode23(F,[0,6],0) 输出结果为图形 [T,y]=ode23(f,[0,6],0)将得到自