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函数与导数综合题（文科） 题型一：求函数的单调区间、极值、最值。此类问题按以下三个步骤进行解决： 第一步：令得到两个根；第二步：列表；第三步：由表可知； 例1.已知函数，是的一个极值点． （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）若当时，恒成立，求的取值范围． 解：（Ⅰ）. ∵是的一个极值点， ∴是方程的一个根，解得. 令，则，解得或. ∴函数的单调递增区间为，. （Ⅱ）∵当时，时， ∴在（1，2）上单调递减，（2，3）上单调递增. ∴是在区间[1，3]上的最小值，且 . 若当时，要使恒成立， 只需， 即，解得 . 2.设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数，讨论的单调性． （3）方程有两个不相等实根 当函数当时，故上为减函数 时，故上为增函数 特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化； 3．已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性. 解（1） 当所以 因此,即曲线又所以曲线 （2）因为,所以 ,令 当时，所以 当时，0，此时，函数单调递减； 当时，0，此时，函数单调递增. 当时，由，即，解得. ① 当时， ， 恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减; ② 当时， ，时，,此时,函数单调递减 时，0,此时,函数单调递增时，，此时，函数单调递减 ③ 当时，由于,时，,此时,函数单调递减： 时，0,此时,函数单调递增. 综上所述：当时，函数在上单调递减;函数在上单调递增 当时,函数在上单调递减当时，函数在上单调递减；函数 在上单调递增； 函数在上单调递减. 题型二：已知函数在某个区间上的单调性、极值、最值，求参数的范围 （1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种： 第一种：转化为恒成立问题即在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法； 第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置； 特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别； 4.已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数． 若函数在处有极值，求的解析式； 若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围． 解：∵，∴由有，即切点坐标为， ∴切线方程为，或……………………2分 整理得或 ∴，解得，∴，∴ （1）∵，在处有极值，∴， 即，解得，∴……………………8分 （2）∵函数在区间上为增函数，∴在区间上恒成立，∴，又∵在区间上恒成立，∴， 即，∴在上恒成立，∴ ∴的取值范围是 5.已知函数 （1）当a=1时，求函数f(x)的极值； （2）若函数f(x)在区间（0，1）上是单调增函数，求实数a的取值范围. 解：（1）因为，所以当a=1时， 令则x=0，所以的变化情况如下表： x (-∞,0) 0 (0,+∞) f′(x) - 0 + f(x) 极小值  所以x=0时，f(x)取得极小值f(0)=-1. 因为函数f(x)在区间（0，1）上是单调增函数， 所以对 恒成立 又，所以只要对恒成立， 解法一：设，则要使对恒成立， 只要成立，……10分 即解得.……12分 解法二：要使对恒成立，因为，所以对恒成立， 因为函数在（0，1）上单调递减，所以只要 6.已知函数（1）若曲线在点处的切线斜率为-2，求a的值以及切线方程；（2）若是单调函数，求a的取值范围。 【解析】（Ⅰ）f((x)＝1－2ax－． …2分由题设，f((1)＝－2a＝－2，a＝1， 此时f(1)＝0，切线方程为y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0．…5分 （Ⅱ）f((x)＝－，令Δ＝1－8a．当a≥时，Δ≤0，f((x)≤0，f(x)在(0，＋∞)单调递减10分当0＜a＜时，Δ＞0，方程2ax2－x＋1＝0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1＜x2，则当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，f((x)＜0，当x∈(x1，x2)时，f((x)＞0，这时f(x)不是单调函数．综上，a的取值范围是[，＋∞)…12分 7.已知函数的单调减区间为（0，4） （I）求的值； （II）若对任意的总有实数解，求实