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学案50　双曲线 导学目标： 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想． 自主梳理 1．双曲线的概念 平面内到两个定点F1、F2(F1F2＝2c0)的距离的差的绝对值等于常数2a(2a2c)，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________． 集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a、c为常数且a0，c0； (1)当________时，P点的轨迹是________； (2)当________时，P点的轨迹是________； (3)当________时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a0，b0)－＝1(a0，b0)图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，yR x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴对称轴：坐标轴 对称中心：原点对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c的关系 c2＝a2＋b2 (ca0，cb0) 3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为____________，其渐近线方程为________，离心率e为________． 自我检测 1．(2011·安徽改编)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是________________________________． 2．已知双曲线－＝1 (b0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝________. 3．(2011·课标全国改编)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为________． 4．已知点(m，n)在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是________． 5．已知A(1,4)，F是双曲线－＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求PF＋PA的最小值． 探究点一　双曲线的定义及应用 例1　已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程． 变式迁移1　已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 探究点二　求双曲线的标准方程 例2　已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4,3)，求双曲线的标准方程． 变式迁移2　(2010·安庆模拟)已知双曲线与椭圆＋＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于，则双曲线的方程为____________． 探究点三　双曲线几何性质的应用 例3　已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144. (1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； (2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且PF1·PF2＝32，求F1PF2的大小． 变式迁移3　已知双曲线C：－y2＝1. (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)已知M点坐标为(0,1)，设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝·，求λ的取值范围． 方程思想 例　(14分)过双曲线－＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，F1为左焦点． (1)求AB； (2)求AOB的面积； (3)求证：AF2＋BF2＝AF1＋BF1. 多角度审题　(1)要求弦长AB需要A、B两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB；(2)在(1)的基础上只要求点到直线的距离；(3)要充分联想到A、B两点在双曲线上这个条件． 【答题模板】 (1)解　由双曲线的方程得a＝，b＝， c＝＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)． 直线AB的方程为y＝(x－3)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得5x2＋6x－27＝0.[4分] x1＋x2＝－，x1x2＝－， AB＝|x1－x2| ＝· ＝·＝.[8分] (2)解　直线AB的方程变形为x－3y－3＝0. 原点O到直线AB的距离为d＝＝. S△AOB＝AB·d＝××＝.[10分] (3)证明　如图，由双曲线的定义得 AF2－AF1＝2， BF1－BF2＝2， AF2－AF1＝BF1－BF2， 即AF2＋BF