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第三章 集合论基础 1、设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值。 ⑴ {a}∈A T ⑵ ?({a}í A) F ⑶ c∈A F ⑷ {a}í{{a,b},c} F ⑸ {{a}}íA T ⑹ {a,b}∈{{a,b},c} T ⑺ {{a,b}}íA T ⑻ {a,b}í{{a,b},c} F ⑼ {c}í{{a,b},c} T ⑽ ({c}íA)?(a∈Φ) T 2、证明空集是唯一的。（性质1：对于任何集合A，都有ΦíA。） 证明：假设有两个空集Φ1 、Φ2 ，则 因为Φ1是空集，则由性质1得 Φ1 íΦ2 。 因为Φ2是空集，则由性质1得 Φ2 íΦ1 。 所以Φ1=Φ2 。 3、设A={Φ},B=P(P(A)).问：(这道题要求知道幂集合的概念) a)是否Φ∈B?是否ΦíB? b)是否{Φ}∈B? 是否{Φ}íB? c)是否{{Φ}}∈B? 是否{{Φ}}íB? 解：设A={Φ}， B=P(P(A)) P(A)= {Φ,{Φ}} 在求P(P(A))时，一些同学对集合{Φ,{Φ}}难理解，实际上你就将{Φ,{Φ}}中的元素分别看成Φ=a ,{Φ}=b, 于是{Φ,{Φ}}={a,b} B=P(P(A))=P({a,b}) ={B0, B1 , B2 , B3 }={B00, B01,B10 ,B11}={Φ, {b}, {a}, {a,b}} 然后再将a,b代回即可B=P(P(A))=P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}} 以后熟悉后就可以直接写出。 a) Φ∈B ΦíB b) {Φ}∈B {Φ} í B c) {{Φ}}∈B {{Φ}}íB a)、b)、c)中命题均为真。 4、证明AíB ? A∩B=A成立。 证明：A∩B=A ? x(x∈A∩B ?x∈A) ?x((x∈A∩B ? x∈A)∧(x∈A? x∈A∩B)) ?x((x?A∩B∨x∈A)∧(x?A∨x∈A∩B)) ?x((?(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B)) ?x(((x?A∨x?B)∨x∈A)∧ (x?A∨(x∈A∧x∈B))) ?x(T∧(T∧ ( x?A∨ x∈B))) ?x( x?A∨ x∈B)?x(x∈A?x∈B)? AíB 5、(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明：任取x∈(A-C)-(B-C) ?x∈(A-C)∧x?(B-C) ?(x∈A∧x?C)∧?(x∈B∧x?C) ?(x∈A∧x?C)∧ (x?B∨x∈C) ?(x∈A∧x?C∧x?B)∨(x∈A∧x?C∧ x∈C) ?x∈A∧x?C∧x?B?x∈A∧x?B∧x?C ?(x∈A∧x?B)∧x?C ?x∈A-B∧x?C?x∈(A-B)-C 所以 (A-B)-C=(A-C)-(B-C) 6、 A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) 证明：任取x∈A-(B∪C) ?x∈A∧x?(B∪C) ?x∈A∧?(x∈B∨x∈C) ?x∈A∧(x?B∧x?C) ?(x∈A∧x?B)∧(x∈A∧x?C ) ?x∈A-B∧x∈A-C ?x∈(A-B)∩(A-C) 所以 A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)) 7、~(A∩B)=~A∪~B ~(A∪B)=~A∩~B 这两个公式称之为底-摩根定律。 证明：任取x∈ ~(A∩B) x∈ ~(A∩B) ?x?A∩B??(x∈A∧x∈B) ?(x?A∨x?B)?x∈~A∨x∈~B ?x∈ ~A∪~B 　∴~(A∩B)=~A∪~B 8、AíB ? ~Bí~A 证明： AíB ?x(x∈A?x∈B) ?x(x?B?x?A)?x(x∈~B?x∈~A) ? ~Bí~A 9、~A=B 当且仅当A∪B=E且 A∩B=Φ 证明： A∪B=E∧A∩B=Φ ?x(x∈A∪B?x∈E)∧ (P?T?P) x(x∈A∩B?x∈Φ) (P?F??P) ?x(x∈A∪B?T)∧x(x∈A∩B?F) ?x(x∈A∪B∧?(x∈A∩B)) ?x((x∈A∨x∈B)∧?(x∈A∧x∈B)) ?x((x∈A∨x∈B)∧(x?A∨x?B)) ?x((x?A?x∈B)∧(x∈B?x?A)) ?x((x∈~A?x∈B)∧(x∈B?x∈~A)) ?x((x∈~A?x∈B) ?~A=B 关于对称差 A、B是集合,由属于A而不属于B，或者属于B而不属于A的元素构成的集合,称之为A与B的对称差,记作A?B。例如