泛函分析简介。汉语函分析简介。汉语.docVIP

泛函分析 西安建筑科技大学 理学院数学系 摘要：泛函分析是一门新兴学科，作为一个重要的数学分析学科，它拥有丰富的历史。泛函分析的发展主要分为三个阶段，本文将介绍它的起源及发展历史，以及发展现状。还介绍了一些国内泛函方向的主要人物。 关键词：泛函分析；数学；发展历史 1. 泛函分析的起源 泛函分析是一门新兴学科，1932年才被正式列入德国《数学文摘》。“泛函分析”这个词首先出现于列维(P．Lévy，1886—1971)1922年出版的《泛函分析教程》中．它是一门分析学科，但与传统的分析学科不太一样，后者强调演算，而前者强调概念．它们的对象也有所不同，后者主要讨论个别函数(类)的性质，而前者主要讨论函数空间及其上算子的集合，特别是其上的拓扑、代数及序结构。不过很难说它有一个统一的对象及目标。 泛函分析大致可分为四大块：一是函数空间理论，从希尔伯特空间、巴拿赫空间到一般拓扑线性空间的理论．二是函数空间上的分析，这是最先发展的一部分，即所谓泛函演算．三是函数空间之间的映射及算子理论，发展最成熟的是希尔伯特空间中的线性算子理论．四是算子(或函数)集合的代数结构，如巴拿赫代数、冯·诺伊曼代数、代数以及算子半群等理论。 泛函分析的来源可以追溯到18世纪变分法的产生。正如微积分研究函数的极值一样，变分法研究函数集(空间)上的函数——泛函的极值。而泛函分析的直接推动力则是19世纪末兴起的积分方程的研究。它导致线性泛函分析的诞生。 2. 泛函分析的发展历史 泛函分析的发展可分三个时期： (1)第一阶段是创始时期。 大约从19世纪80年代到20世纪20年代．开始是意大利一些数学家引进泛函演算，特别是他们引进原始泛函以及线性算子的概念．后来法国数学家发展了泛函演算，这反映在阿达马(J．Hadamard)1897年第一次国际数学家大会上的报告中。为了研究偏微分方程而考虑了闭区间上全体连续函数所构成的族，发现这些函数构成一个无穷维的线性空间，并于1903年定义了这个空间上的函数，即泛函．这些还只是具体的结果。 法国数学家弗雷歇利用当时的集合论观念把前人的结果统一成为一个抽象的理论，他把他们的共同点归纳起来而且加以推广： 把函数或曲线看成一个集合或空间中的点，把它们看成一个抽象集合。 点列的极限概念也可以推广，有极限概念的集合称为距离空间，这是后来拓扑空间的萌芽。 集合上可以定义取值在实数里的实函数，即泛函．由于有了极限概念，就可以定义泛函的连续性。 泛函可以进行代数运算，也可以进行分析演算，比如微分．这样就成为名符其实的泛函分析了。 1906年他还在抽象的空间中引进“距离”的观念，具有欧几里得空间距离的性质，这种空间就有更丰富的结构。 大约在弗雷歇同时，希尔伯特对于积分方程进行系统的研究。他在前人基础上，深刻认识积分方程与无穷多变无线性方程组之间的相似性，积分方程的有解性与无穷多变元的收敛性条件有关。这样他实际上得到了具体的希尔伯特空间的理论。抽象的希尔伯特空间理论是他的学生施密(E．Schmidt，1876—1959)1907年，匈牙利数学家黎斯(F．Riesz，1880—1956)(E．Fischer，1875—1959)(M．Riesz，1886—1969)1910年黎斯仿照空间研究了空间()就是次方可积函数全体构成的空间，后研究空间，它们不是希尔伯特空间而是巴拿赫(S．Banach，1892—1945)1920年到1922年间奥地利数学家哈恩(H．Hahn，1879—1934)(E．Helly，1884—1943)(N．Wiener，1894—1964)(J．Schauder，1899—1940)(J．Leray，1906—)1926年冯·诺伊曼来到哥丁根大学，当时正是哥丁根物理学与数学的全盛时代。量子力学的产生和抽象代数、泛函分析的发展使人们思想空前活跃。冯·诺伊曼把希尔伯特空间公理化，并把量子力学的数学基础建立在泛函分析之上。虽然冯·诺伊曼的公理的来源可以从维纳、外尔和巴拿赫的工作中看到，但冯·诺伊曼的工作更为系统，特别是他关于厄米算子的谱理论。 三十年代末，波兰数学家马祖尔(S．Mazur，1905—1981)(Ц.М.Гельфанд，1913—)(L．Schwartz 1915—)(P．Dirac，1902—1984)1920年到1940年间所发展的局部凸向量空间理论的技术在1945年后主要通过沙顿(R．Schatten，1911—)(A．Grothendieck，1927—)1973年才被恩福楼(P．Enflo)1900年到 1930年间由希尔伯特、卡勒曼(T．Carleman，1892—1949)1941年所创始的巴拿赫代数理论而大大简化及推广。但是，这个理论中最有趣的部分仍然是冯·诺伊曼代数的研究。