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§1.2 矢量运算 1.2.1 矢量加法 矢量加法是矢量的几何和，两个矢量的几何和服从平行四边形规则，如图1.2(a)所示。 (1.4) 矢量加法也可以用矢量三角形表示，如图1.2(b)所示，矢量的头和矢量的尾相接，得矢量。同理矢量的头和矢量的尾相接，也得矢量。 可见，矢量加法和矢量排列次序无关，即服从交换律 (1.5) 矢量加法也服从结合律 (1.6) 矢量加法是几个矢量的合成问题，反之，一个矢量也可以分解为几个矢量。例如把矢量放在直角坐标系中，可以分解为，和，为这三个矢量之和，如图1.3所示。 (1.7) 在直角坐标系中，三个轴方向上的单位矢量分别为，和。矢量，和的模分别为矢量在，和轴方向上的投影，用，和表示则 可见，的模为 (1.8) 的单位矢量为 (1.9) 由图1.3可知 (1.10) 其中，和分别为矢量的方向角，即矢量与三个坐标轴方向的夹角。，和称为矢量的方向余弦。 设有三个矢量，和，在直角坐标系中分别表示为 则三个矢量相加为 (1.11) 在矢量的分解中，应注意到分解的不唯一性。例如，同一个矢量在不同的坐标系中，分解的情况是不同的。 1.2.2 矢量减法 矢量减法可以视为矢量加法的特例，即 (1.12) 通常称为矢量的逆矢量，它的大小和矢量一样，但方向相反，如图1.4所示。由矢量加减法运算规则可知，如果三个矢量，和头尾相连组成封闭三角形，其矢量和为零，如图1.5所示。 (1.13) 同理可推断，若多个矢量头尾相连组成封闭的多边形，其矢量和必为零。 1.2.3 标量和矢量的乘积 一个标量和矢量相乘，得矢量，即 (1.14) 显然：的大小等于的大小的倍。若，与同方向；若，与反方向；若，的模比大，，则比小。应记住一个有用的事实，平行于，方向相同或相反。 1.2.4 两矢量的标量积 两矢量的标量积亦称点积，定义为：一个矢量在另一个矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，结果是一个标量。可表示为 (1.15) 式中为两矢量的夹角，如图1.6所示。 由式(1.15)可知，时，标量积变为零，因此，两非零矢量和的正交条件为 (1.16) 点积的基本性质服从 交换律： (1.17) 分配律： (1.18) 在直角坐标系中，，和三个单位矢量互相正交，根据标量积定义得 ， ， (1.19a) ， ， (1.19b) 于是两矢量的标量积可表示为 (1.20) 说明两矢量的标量积等于其对应的分量的乘积之和。 1.2.5 两矢量的矢量积 两矢量和的矢量积亦称叉积，其结果仍是一个矢量，用矢量表示，矢量的大小为和组成的平行四边形的面积，方向垂直于矢量和构成的平面，并且、和三者符合右手螺旋法则，其数学表达式为 (1.21) 式中为矢量和的夹角，如图1.7所示。 由式(1.21)可以得到非零矢量和平行的条件为 (1.22) 根据式(1.21)的矢量积定义和右手螺旋法则可以看出 (1.23) 说明矢量积不服从交换律，但服从分配律，即 (1.24) 显而易见，矢量积不服从结合律，即 (1.25) 式(1.25)的形式称为矢量三重积，等号左边三重积的矢量和矢量垂直，并且位于矢量和构成的平面；而右边三重积的矢量和矢量垂直，且位于矢量和构成的平面内，可见左右两边的结果不一样，式中括号不是可有可无的，括号代表优先进行矢量运算的部分。 对于直角坐标系