[甲抛物线的定义与基本性质.docVIP

§1?1 拋物線 (甲)拋物線的定義與基本性質 (1)定義：設平面上有一定直線L及不在直線上一定點F，則在此平面上所有到直線的距離等於到焦點F的動點P所形成的圖形稱為拋物線。 (2)名詞介紹(a)直線L稱為準線，F點稱為焦點。(b)過焦點垂直準線的直線M稱為對稱軸(簡稱)軸(c)對稱軸與拋物線的交點V稱為頂點，VF稱為焦距。(d)拋物線上兩點的連線段稱為弦，過焦點的弦稱為焦弦。 垂直對稱軸的焦弦P1P2稱為正焦弦。(3)拋物線的基本性質： (a)設對稱軸與準線的交點為A，則頂點V為的中點。 [說明]：因為V為拋物線上的點，VF=d(V,L)=AV 所以V為的中點。 (b)拋物線的正焦弦長為焦距的4倍。 [說明]：因為P1P2=2P1F，且P1F=d(P1,L)=AF=2?VF 所以正焦弦長P1P2=4?VF。 在座標平面上，設?是以F(3,?1)為焦點，L：x?y+1=0為準線的拋物線，求(1)?的頂點。(2)?的對稱軸方程式。(3)正焦弦長(4)?的方程式Ans：(1)(,) (2)x+y?2=0 (3)5(4)x2+2xy+y2?14x+6y+19=0 設拋物線?以L為準線，F為焦點，在L上任取一點Q，過點Q作直線L的垂線N，再作的中垂線交直線N於P，請證明P點在拋物線?上，並藉此說明拋物線沒有界限。 關於方程式||=所代表的錐線圖形?，下列何者為真？(A)?為拋物線 (B)(1,?2)為?的焦點 (C)3x+y?19=0為?的漸近線 (D)x?3y+7=0為?的對稱軸 (E) (3,1)是?的頂點。 Ans：(A)(D) 若一拋物線以F(1,1)為焦點，L：x+y+2=0為準線，求(1)拋物線的方程式(2)對稱軸方程式(3)正焦弦長(4)頂點坐標Ans ：(1)x2?2xy+y2?8x?8y=0(2)x?y=0(3)4(4)(0,0) 設一拋物線之頂點V(1,2)，準線L之方程式x+y+6=0，求其焦點坐標。Ans：(,) (乙)拋物線的標準式 設拋物線?的焦點F為(c,0)、L：x+c=0，?的方程式為y2=4cx。P(x,y)為?上任意點，根據定義PF=d(P,L)可得 = |x+c| ? (x?c)2+y2=(x+c)2 ? y2=4cx。性質：(a)c0，開口向右；c0，開口向左。(b)焦距=|c|，正焦弦長=4|c|。 (2) 設拋物線?的焦點F為(0,c)、L：y+c=0，?的方程式為x2=4cy。設P(x,y)為?上任意點，根據定義PF=d(P,L)可得=|y+c| ? x2+(y?c)2=(y+c)2 ? x2=4cy。性質：(a)c0，開口向上；c0，開口向下。(b)焦距=|c|，正焦弦長=4|c|。 例子：拋物線的標準式y2?8x=0，求拋物線的(1)對稱軸(2)頂點(3)焦點(4)準線(5)正焦弦長Ans：(1)y=0(2)O(0,0)(3)F(2,0)(4)Lx+2=0(5)8 1.方程式 一次項的變量為x 一次項的變量為y y2=4cx (c?0) y2=4cx (c?0) x2=4cy (c?0) x2=4cy (c?0) 2.圖形(一次項正負號，定開口) 3.對稱軸(二次) 4.頂點 5.焦點 6.準線 7.焦距 8.正焦弦長 任一標準式所表拋物線的正焦弦長都是|4c|，今以y2=4cx(c?0)為例，證明如下： 9.常用公式 常數c與F,V的關係?|c|=VF  例子：將拋物線?：y2=6x=(3,2)平行移動得到一個新的拋物線?/，?/的方程式。[解答]：(1)設?/上的任一點Q(x/,y/)，因為Q(x/,y/)沿向量?=(?3,?2)可得P(x,y)在?上，即x?x/=?3，y?y/=?2 ?x=x/?3，y/=y?2 ?(y/?2)2=6(x/?3)。因此?/ 的方程式為(y?2)2=6(x?3)。(2)考慮?的頂點(0,0)、焦點(,0)、正焦弦長=6、對稱軸y=0、準線x=。 考慮?/的頂點(3,2)、焦點(+3,2)、正焦弦長=6、對稱軸y=3、準線x=+3。(3)由(1)(2)，可以得知就點坐標、方程式而言，形式會改變，但正焦弦長不變。 一般而言，方程式f(x,y)=0的圖形沿向量=(h,k)平移，所得的圖形的方程式為f(x?h,y?k)=0。(即原先的x,y用x?h,y?k來取代) 將頂點(