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Quantum Mechanics 本征能量和本征函数的可能取值 小结： Quantum Mechanics 一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度 o a a o Quantum Mechanics 时， ? 量子?经典 符合玻尔对应原理 | 2 Ψn | a n 很大 En 0 平均效应明显 束缚态 无限远处为零的波函数所描述的状态 存在束缚态条件 特点： （1）处于束缚态粒子能量是离散的 （2）波函数一般可以用实函数描述 （3）束缚态能量所对应本征函数不简并 2008.5 Quantum Mechanics 2、有限深方形势阱 势的特点：空间反射对称 0 x a/2 -a/2 V0 V0 V(x) E 2008.5 Quantum Mechanics 写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区) 令 方程(1)变为 其解为 都是方程的解？ 2008.5 Quantum Mechanics 现在是有限深的情况！ 2008.5 Quantum Mechanics 在阱内(经典允许区) 令 则方程变为 其解可以写为 2008.5 Quantum Mechanics 宇称 2008.5 Quantum Mechanics Quantum Mechanics 左 国 平 南华大学 核科学技术学院 * * * * * * * 不讲 §6 定态Schrodinger方程 （一）定态Schrodinger方程 （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （三）求解定态问题的步骤 （四）定态的性质 （一）定态Schrodinger方程 讨有外场情况下的定态Schrodinger 方程： 令： 于是： V(r)与t无关时，可以分离变量 代入 等式两边是相互无关的物理量，故应等于与 t, r 无关的常数 该方程称为定态Schrodinger 方程，ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数。 此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。 空间波函数ψ(r)可由方程 和具体问题ψ(r)应满足的边界条件得出。 能量有确定的值 能量定值 ？ （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （1）Hamilton 算符 二方程的特点：都是以一个算符作用于Ψ(r, t)等于EΨ(r, t)。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。 是相当的。这两个算符都称为能量算符。 也可看出，作用于任一波函数Ψ上的二算符 再由 Schrodinger 方程： （2）能量本征值方程 一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与 数学物理方法中的本征值方程相似。 数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成本征值问题； 将 改写成 2008.5 Quantum Mechanics （3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。 （2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。 2.写出Schrodinger方程 1.模型 4.由边界条件（波函数标准条件）确定常数 3.解方程 5.确定能量 6.确定归一化常数、波函数 7.讨论 求解定态问题的步骤 （四）定态的性质 （1）粒子在空间几率密度与时间无关 （2）几率密度与时间无关 Quantum Mechanics §2.6 一维无限深势阱 金属中的电子在构成金属骨架的晶体点阵之间运动时，要受到点阵上正离子的作用力，这种作用力可用两者相互作用的势能表征。电子在这个有势力场中运动时，通常并不能自发地挣脱出金属表面，这表明在金属内的电子运动到表面上时，它的总能量（动能和势能）远小于表面处的势能，因而受到阻挡。因此，我们对金属中的电子运动有时可以作这样的简化处理，即认为：如果没有外界影响（如外电场、光照等），电子好似被无限高的势能“壁”禁囿于金属内，并在一维势力场作用下运动着，这个抽象出来的计算模型，称为一维无限深方形势阱，简称一维方势阱。 Quantum Mechanics a 金属 U(x) U=U0 U=U0 E U=0 x 极 限 U=0 E U→∞ U→∞ U(x) x 0 a Ⅰ Ⅱ Ⅲ 无限深方势阱 （potential well） 是实际情况的极端化和简化。 粒子在势阱