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专题：高斯函数[x] 又名“取整函数” 设 x 为任意实数，不超过x的最大整数称为 x的整数部分，记作 [x] ,称为高斯函数（或方括号函数）．称x －[x] 为 x 的小数部分，记作{x}． 　　例如，[0.25] = 0，[ ] = 7，[－3] = －3， {π}=0.14159，[－π]=－4，… 定理1 ( 4 ) [x] + [y] ≤ [x+y] ≤[x] + [y] ＋1,其中等号有且仅有一个成立 ; 0≤{x + y}≤{x}+{y }. 证：因0≤ {x},{y} 1，故0≤{x}+{y}2. 于是由x+y = [x] + [y]+{x}+{y}即知 定理1.28 定理1 设n≥2，则在 n! 的标准分解式中，记素因数 p 的指数α= fp (n!) , 则 例 数100! 末尾连续地有多少位全是零? 解：命题等价于求100!可被10的多少次方整除．因10=2× 5，而由定理1知100! 中2的指数大于5的指数，因而100! 中 5 的指数 α就是需求的100! 末尾全是零的位数．但 定理4 设n是正整数，1≤k≤n-1，则 证明过程 当是任意正实数时,即厄米特恒等式成立.定理证毕. 问题探讨1 设n正整数，则 问题探讨2 * * 卡尔·弗里德里希·高斯 德国著名数学家、物理学家、 天文学家、大地测量学家。和牛顿、 阿基米德，被誉为有史以来的三大数 学家，是近代数学奠基者之一，18岁 的发现了质数分布定理和最小二乘法。 通过对足够多的测量数据的处理后， 可以得到一个新的、概率性质的测量结果。 在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功 得到高斯钟形曲线（正态分布曲线）。其函数被命名 为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大 量使用。1799年高斯于黑尔姆施泰特大学因证明代数基本定理 获博士学位。从1807年起担任哥廷根大学教授兼哥廷根天文台 台长直至逝世。高斯的肖像被印在从1989年至2001年流通的 10德国马克的纸币上。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 引例： 某学校要招开学生代表大会，规定各班每 10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大 于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与 该班人数x之间的函数关系式是怎么样的呢？ 如果班级人数不是10的倍数时，y与x的函数关系式怎么表示呢？ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 由定义1可直接推得下列性质： 1 x = [x] + {x}； ０≤ {x} 1． 2 x－1 [x] ≤ x [x]+1. 定义 1 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (1) 若x ≤ y,则 [ x] ≤ [ y]; (2) 当 n∈Z时, [n+x] = n + [x],{n+x} = {x}. 设x, y ∈R, ，则有 (1)证：∵[ x] ≤ x ≤ y [ y] ＋1 , ∴ [ x] ≤ [ y]. 严格不等式 ! 探索： [ x-y]与[ x]-[ y]之间的关系 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 故[x] + [y] ≤[ x+y] ≤[x] + [y] ＋1． 证毕． 性质 4 可推广到多个数相加的情况， 而0≤{x + y}是显然的. 定义 ! 上述第一种等号,第二种小于号 ! 据此，又可得 Evaluation only. Created with Aspose.S