12-13(二)微分几何期末复习题.docVIP

一， 填空 1. 若曲线C 能与另一条曲线 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与的副法线重合, 则曲线C 称为 孟恩哈姆曲线 . 2. 曲线C在正则点邻近的近似曲线为x¤(s) = s; y¤(s) = k(0)2 s2; z¤(s) = k(0)?(0)6 s3; 3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的 曲率和挠率 . 4.“采柴罗不动条件是 dx¤ds = ky¤ ? 1, dy¤ds = ?kx¤ + ?z¤ dz¤= ??y¤ . 5.空间曲线C : r = r(s) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k(s) 和挠率? (s) 满足 . 6. 设C : r = r(s) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有 固定比值 . 7.半径为R的圆的曲率为___________. 8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M(t) 的弧长是 5at . 9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 圆柱螺线 。 10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________. 11，距离单位球面球心距离为的平面与球面的交线的法曲率为 ， 12. 距离单位球面球心距离为的平面与球面的交线的测地曲率为 . 13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 平面，球面 . 14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=____0___________；沿曲率线的切方向，法曲率=_________N/G_____________；沿测地线的切方向，法曲率=_____________________. 15．曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 ． 16．曲面上曲线的曲率K，测地曲率Kg，法曲率Kn之间的关系是 K2=K2g+K2n 。 17. 下列关于特殊曲线的论断，不正确的是 （ A ） A. 若曲线上有无穷多个点处曲率为零，则曲线必为直线 B. 平面曲线的密切平面即曲线所在平面本身 C. 沿渐近曲线，曲面的切平面与该渐近曲线的密切平面重合 D. 沿测地线，曲面的切平面与该测地线的密切平面垂直 18，下列曲面不是可展曲面的是 （ A ) A. B. 曲线的切线曲面 C. 高斯曲率恒为0的无平点曲面 D. 与平面等距等价的曲面 19，下面各量中, 不是内蕴量的是 ( C ) A. 曲面上曲线的曲率 B. 曲面上曲线的测地曲率 C. 曲面上测地三角形的内角和 D. 曲面的高斯曲率 20，下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一项是 【 C 】 A. 脐点处，任何方向都是主方向 B. 非脐点处，主方向垂直 C. 脐点处，无主方向 D. 非脐点处，有且仅有两个主方向 二，计算题 1．曲线，求 （1）基本向量、、； （2）曲率和挠率. 答案，习题P60 8题 2．求自然方程为的曲线的参数方程 答案，课件PDF P50 例题6 3．计算单位球面r(θ,φ) ={cosθsinφ,sinθsinφ,cosφ}上曲线 θ = logcot(π/4-t/2)， φ = π/2-t 0 ≤ t ≤ π/2, 的弧长。 答案，课件PDF P69 例题6 4．求环面r(θ,φ) = {(b+asinφ)cosθ,(b+asinφ)sinθ,acosφ}的面积,其中a,b (b a)是正常数,参数0≤θ≤2π,0≤φ≤2π. 答案，课件PDF P73 例题9 5．求曲面的渐进网。 答案，习题P146 8题 6．试求双曲面的曲率线。 答案，习题P146 12题 7．试求双曲面，在点处的平均曲率和Gauss曲率。 ． 答案，习题P146 21题 8．试求下列曲面上的测地线 （1）平面； （2）圆柱面。 答案，课件PDF P136 例题2，例题4，例题5 9．求位于半径为R的球面上半径为a的圆周曲线的测地曲率(a R). 答案，习题P202 3题 10. 求半径为R的球面上测地三角