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北京科技大学2013年 《科学与工程计算》 研究生考试试题答案 一、填空题(每空题2分，共20分) 1. 南北朝科学家祖冲之计算的圆周率的，此近似值具有 7 位有效数字. 解：,具有7位有效数字。 2.为了提高数值计算精度,应将表达式改写为 。 3. 写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵的行范数为0.82， 4. ，则过这三点的二次插值多项式中的系数为 -0.5，牛顿插值多项式为。 5. 设函数，若,那么3 。 解: 6 . 用二分法求方程在区间[0,1]内的根,进行两步后根的所在区间为 [0.5，0.75 ] 7. 数值积分公式的代数精度为2。 8. 已知如下分段函数为三次样条， 则 A= 1/2 ，B= 3/2 ，C= 3/2 二、 (10分) 方程 在区间[1.4,1.6]有根，首先讨论迭代格式（1） （2）（3）的收敛性； 若收敛则取迭代格式计算2步,取初始值 解：(1)， 所以，迭代不收敛； (2) 所以，迭代不收敛； (3) 在零点处,所以其局部收敛 三、(10分) 使用Dolittle 三角分解求解线性方程组 解： 四、（10分）用SOR方法解下列方程组（取松驰因子）,要求. . 解：SOR方法 故， 迭代初值 k 0 0.000000 0.000000 1 0.6000000 -1.320000 2 1.2720000 -0.854400 3 0.858240 -1.071648 4 1.071341 -0.964268 5 0.964293 -1.017859 6 1.017857 -0.991071 7 0.991071 -0.997768 8 1.004464 -0.997768 9 0.997768 -1.001116 10 1.001116 -0.999442 五、(10分) 为n维向量，，但，，证明存在合适的household矩阵，使得。 解：六、(10分) 给出概率积分 的数据表：试用二次插值计算. X 0.46 0.47 0.48 0.49 f(x) 0.4846555 0.4937542 0.5027498 0.5116683 解：取插值节点： 七、(10分) 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使与下列数据相拟合 X 19 25 31 38 44 Y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 解：依题意 法方程为 解得 故拟合曲线为 八、(10分) 分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算 , (均取6等分区间). 注：各步骤保留5位有效数字即可。 解：（1）用复合梯形公式 故 （2）用复合Simpson公式： 九、(10分)用改进的欧拉方法求解初值问题 取t的步长，计算的近似值 解: ,, 第一步: 第二步：，， ，，