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例题分析一 例1　设准确值x*=π =3．1415926，当分别取近似值x=3．14和x=3．1416和x=3．1415时，求绝对误差、绝对误差限及有效数字位数。 　　它的绝对误差是　－0．0015926…，有 │x-x*│=0.0015926…≤0.5×101-3 　　即n=3，故x=3．14有3位有效数字。x=3．14准确到小数点后第2位，又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 │x-x*│=0.0000074…≤0.5×101-5 　　即m=1，n＝5，x=3.1416有5位有效数字。而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有 │x-x*│=0.0000926…≤0.5×101-4 　　即m=1，n＝4，x=3．1415有4位有效数字。　　这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字； 例2　指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 　　2．0004　　－0．00200　　9000　　9000．00 　　解因为x1=2．0004＝0．20004×101，它的绝对误差限0．00005=0．5×101-5，即m=1，n=5，故x=2．0004有5位有效数字。 a1=2，相对误差限； 　　x2=－0．00200，绝对误差限0．000005，因为m=－2，n=3，x2=－0．00200有3位有效数字。 a1=2，相对误差限 　　x3=9000，绝对误差限为0．5×100，因为m=4, n=4，x3=9000有4位有效数字，a=9，相对误差限 　　x4=9000．00，绝对误差限0．005，因为m=4，n=6，x4=9000．00有6位有效数字，相对误差限为 　　由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的。 例3　ln2=0，精确到10－3的近似值是多少？ 　　解精确到10-3＝0．001，意旨两个近似值x1，x2满足│x1-x2│≤0．001，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足│x1-x2│≤0．001，近似值的绝对误差限应是ε＝0．0005，故至少要保留小数点后三位才可以。故In2≈0．693。 例4　试利用f(x)的数据表 　　计算积分，并估计计算误差． 　　分析　在f(x)的表达式不知道的情况下，如何去求f(x)的积分值呢?若利用本章的知识，即可利用已知的f(x)的数据表构造f(x)的二次插值多项式p2(x)，以作为f(x)的近似函数，并进而以p2(x)的积分值作为所求积分值的近似。至于误差的计算，也可由误差f(x)-p2(x)出发进行估计。 　　解根据拉格朗日插值公式，利用给定的数据表，可构造出f(x)的二次插值多项式 插值余项为 ． 由此得积分近似值 积分值的误差为 　　其中 例5　给定f(x)在节点a，b上的函数值与导数值f(a)，f(b)，f′(a)。试求一个二次多值式H2(x)，使之满足插值条件 H2(x)=f(a)，H2(x)=f(b)， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1) 　　分析 构造插值多项式的基本方法是基函数法，即对每一个插值条件建立一个与之相应的插值基函数。基函数的形式要与所求的插值函数相一致。然后用给定的插值数据与基函数作线性组合，就可得到所求的插值函数。 　　解法一 与(1)中三个插值条件相应，依次建立三个插值基函数，是二次多项式且满足标准的基函数插值条件 利用待定系数法容易求得 则所求的二次插值多项式为 　　法二　可先根据给定条件H2(x)=f(a)，H2(b)=f(b)作出牛顿插值(或拉格朗日插值)多项式，然后再加带有待定系数的一项，所加项自然应保证在a，b处取值为零，故而可取k(x-a)·(x-b)，再由条件确定待定系数k。 　　设H2(x)=f(a)+f[a，b](x-a)+k(x-a)(x-b)。于是 所以 注　由于二次多项式由H2(a)，f(b)，f′(a)三个条件所唯一确定，所以本题由各种方法所求得的解，实质上是相同的。例题分析二 例6　已知函数y=f(x)的观察数据为 　　试构造f(x)的拉格朗日多项式Pn(x)，并计算f(－1)。 　　解先构造基函数 　　 所求三次多项式为： 　　 例7　已知函数y=f(x)的数据如表中第2，3列。计算它的各阶均差。 　　解依据均差计算公式，结果列表中。 计算公式为： 一阶均差 二阶均差 ……… 例8　设x0，x1，x2，…，xn是n+1个互异的插值节点，lk(x)(k=0，1，2，…，n)是拉格朗日插值基函数，证明： 　　证明 当f(x)=1时， ??? 由于，故有. 例9　已知数据表如下： 用最小二乘法求拟合这组数据的曲线