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计数原理 学案2 分类加法计数原理和分类乘法计数原理 【课标导航】 能够掌握加法原理和乘法原理的联系和区别； 能熟练应用两个原理。 重点：两个原理的综合应用。 难点：两个原理的区别和联系。 【知识导引】 合理分类是应用加法原理的前提和条件，只有分类合理，不重不漏，才能有效解决问题；准确分步是应用乘法原理的关键，要明确n个步骤逐次完成，不能缺少一个。 【自学导拨】 两个计数原理中对分类，分步的要求是什么？ 两个原理主要的相同点和区别是什么？。 在解决实际问题时，如何应用两个计数原理？ 4.从1到10的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有 种。 【教材导学】 例1 排数问题给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z, 后两个要求用数字1～9.问最多可以给多少个程序命名？ 【点拔】遇到综合性的问题时，要首先明确目标，然后制定策略。本题的任务是用3个字符给程序模块命名，这就是目标。 【解析】解决本题可分三个步骤：第一步，选首字符；共有7+6=13种选法，第二步，选中字符；共有9种选法，第三步，选最后字符；也有9种选法，由分步计数原理可知，不同的名称有13×9×9=1053 【反思】 解决问题时务必合理分类，准确分步为。 【变式练习1】 1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有多少个？ 例2集合问题 已知集合M={1,2,3},N={2,3,4,5} 任取一个奇数n,n∈（M∪N）,共有多少种不同的取法？ 设点Q（x,y）,x∈M,y∈N,问可以表示多少个不同的点？ 在（2）中，有多少个点Q（x,y）不在直线y=x上？ 【点拔】解决综合问题时，要注意满足具体问题的条件，如本题中的奇数、点、直线等。 【解析】（1）由已知集合M、N可得M∪N={1,2,3,4,5},所有任取一个奇数有3种取法。 （2）点Q（x,y）中，x∈M,y∈N，所以表示的点数为3×4=12个。 （3）由（2）可知，在直线上的点有（2，2），（3，3），所以不在直线上的点共有12-2=10个。 【反思】本题是用两个原理解决来具体问题，需要先明确要求，然后选择应用两个原理。 【变式练习2】 设{an}是等差数列，从{a1,a2,a3···an}中任取3个不同的数，使这3个不同的数仍成等差数列，则这样的不同的等差数列有多少个？ 例3.映射问题已知集合A={a1，a2，a3，a4},集合B={b1 ，b2},其中ai,bj均为实数。 从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？ 能构成多少个以A为定义域，以B为值域的不同函数？ 【点拔】要注意映射、定义域、值域的含义。 【解析】（1）集合A中的元素对应集合B中的元素都有两种可能，因此，不同的映射有2×2×2×2=16 （2）要满足以A为定义域，以B为值域，要除去A中的元素都对应b1和b2两种情况。所以构成的不同函数有16-2=14种。 【反思】本题分清概念是前提，只有概念明确了才能分类分步计算。 【变式练习3】 集合M={a,b,c},集合N={-1，0，1}，由M到N的映射满足条件f(a)+f(b)=f(c),这样的映射共有多少个？ 【思悟小结】 由学生完成 【基础导测】 1．由数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中小于的偶数共有（ ） A．个 B．个 C．个 D． 个 2.在 1,2,3,4,5这5个数组成的无重复数字的三位数中，各个位数之和为9的三位数共有（） A 6 B 10 C12 D 17 3.若a∈{1，2，3，5}， b∈{1，2，3，5}，则方程y= x表示不同的直线数为（） A 13 B 14 C12 D 15 4．已知集合,,从集合,中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有（）个 A.22 B.23 C.24 D.25 5.积展开后共有 项 。 6.如图，从A到C有 种不同的走法. 从集合{1，2，3，···10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数有多少？ 8.用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，比3410大的数有多少个？ 【知能提升】 教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（） A 10 B 25 C 52 D 24 2.设A、B是两个非空集合，定义A*B={（a,b）B},若P={0，1，2}，Q={1，2，3，4}，则P*Q中元素的个数是（） A 4 B 7 C 12 D 16 3.小王打算