高中数学对数函数及其性质3.docVIP

对数函数及其性质3 三维目标 一、知识与技能 1.掌握对数函数的单调性及其判定. 2.能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质. 二、过程与方法 1.熟练利用对数函数的性质进行演算，通过交流，使学生学会共同学习. 2.综合提高指数、对数的演算能力. 3.渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想. 三、情感态度与价值观 1.用联系的观点分析、解决问题. 2.认识事物之间的相互转化. 3.加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生数学交流能力. 教学重点 对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用. 教学难点 单调性和奇偶性的判断和证明. 教具准备 投影仪及作业讲义. 教学过程 一、创设情景，引入新课 1.复习函数及反函数的定义域、值域、图象之间的关系. 2.指数式与对数式比较. 3.画出函数y=2x与函数y=log2x的图象. 二、讲解新课 在指数函数y=2x中，x为自变量（x∈R），y是x的函数（y∈（0，+∞）），而且它是R上的单调递增函数.可以发现，过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y=2x的图象有且只有一个交点.另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式y=2x可得到对数式x=log2y.这样，对于任意一个y∈（0，+∞），通过式子x=log2y，x在R中都有唯一确定的值和它对应.也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这时我们就说x=log2y（y∈（0，+∞））是函数y=2x（x∈R）的反函数. 在函数x=log2y中，y是自变量，x是函数.但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数.为此，我们常对调函数x=log2y中的字母x、y，把它写成y=log2x.这样，对数函数y=log2x（x∈（0，+∞））是指数函数y=2x（x∈R）的反函数. 由上述讨论可知，对数函数y=log2x（x∈（0，+∞））是指数函数y=2x（x∈R）的反函数；同时，指数函数y=2x（x∈R）也是对数函数y=log2x（x∈（0，+∞））的反函数.因此，指数函数y=2x（x∈R）与对数函数y=log2x（x∈（0，+∞））互为反函数. 请你仿照上述过程，说明对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）和指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）互为反函数. 练习：求下列函数的反函数： （1）y=0.2－x+1；（2）y=loga（4－x）；（3）y=. 例题讲解 【例1】 已知函数y=loga（1－ax）（a＞0，a≠1）. （1）求函数的定义域与值域； （2）求函数的单调区间； （3）证明函数图象关于y=x对称. 分析：有关于对数函数的定义域要注意真数大于0；函数的值域取决于1－ax的范围，可应用换元法，令t=1－ax以减小思维难度；运用复合函数单调性的判定法求单调区间；函数图象关于y=x对称等价于原函数的反函数就是自身，本题要注意对字母参数a的范围讨论. 解：（1）1－ax＞0，即ax＜1， ∴a＞1时，定义域为（－∞，0）；0＜a＜1时，定义域为（0，+∞）. 令t=1－ax，则0＜t＜1，而y=loga（1－ax）=logat. ∴a＞1时，值域为（－∞，0）；0＜a＜1时，值域为（0，+∞）. （2）∵a＞1时，t=1－ax在（－∞，0）上单调递减，y=logat关于t单调递增， ∴y=loga（1－ax）在（－∞，0）上单调递减. ∵0＜a＜1时，t=1－ax在（0，+∞）上单调递增，而y=logat关于t单调递减， ∴y=loga（1－ax）在（0，+∞）上单调递减. （3）∵y=loga（1－ax）， ∴ay=1－ax. ∴ax=1－ay，x=loga（1－ay）. ∴反函数为y=loga（1－ax），即原函数的反函数就是自身. ∴函数图象关于y=x对称. 【例2】 设a＞0，a≠1，f（x）=loga（x+）（x≥1），求f（x）的反函数f－1（x）. 分析：要利用对数式与指数式的互化关系，按求反函数的有关方法、步骤进行求解. 解：∵y=loga（x+），∴x+=ay， x－ay=－，（x－ay）2=x2－1， x2－2xay+a2y=x2－1，2xay=a2y+1. ∴x=.∴反函数为y==（ax+a－x）. 在原函数中，∵x≥1，而x和在［1，+∞）上都单调递增， ∴x+≥1. ∴a＞1时，y≥0，0＜a＜1时，y≤0. 故所求函数的反函数为 当a＞1时，f－1（x）=（ax+a－x）（x≥0）， 当0＜a＜1时，f－1（x）=（ax+a－x）（x≤0）. 【例3】 已知函数f（x）=（）x（x＞0）和定义在R上的奇函数g（x）.当x＞0时，g（x）=f（x），试求g（x）的反函数. 分析：分段函数的反函数应注意分类讨论.由于f（x）