[9双线性函数.docVIP

第九章 双线性函数 本章从线性函数入手，一般数域上向量空间，双线性函数的概念，介绍正交空间、辛空间的一些基本结论． §1 线性函数定义设是数域上的一个向量空间．到的映射， 2) ， 则说是上的一个线性函数， 由定义可以看出线性函数就是到的线性映射因而关于线性映射的基本结果对于线性函数也成立 线性函数是十分重要的函数类，在数学的个分支和实际问题中都它．下面几个例子． 例1 给定F中的n个元素?()，规定 容易验证f 保持加法与纯量乘法两种运算．因此f 是上的一个线性函数． 例2 矩阵的迹把数域F上每一个n阶矩阵对应F中的一个元素,并且有， ． 所以矩阵的迹是上的一个线性函数． 例3 定积分使每一个连续函数对应一个实数,并 且满足 ． 所以定积分是上的一个线性函数． 注意，在数学分析中把形如 的n元函数g叫做线性函数．若b≠0，则g不保持加法运算，也不保持纯量乘法运算，从而g不是定义1意义上的线性函数．所以，“线性函数”这一术语在分析和代数里有不同的含义．代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数． 我们来讨论有限维向量空间上的线性函数的表达式． 设是数域上的维向量空间，是上的一个线性函数．在中取一个基．由于可以看成是向量空间到向量空间的一个线性映射，因此完全被它在的一个基上的作用所决定．即只要知道，就可以知道中任一向量在作用下的象 定理1 设是上一个维向量空间，是的一个基，是中任意取定的n个数，则存在上唯一的线性函数，使得 ， ， 是一个线性函数，且满足，线性函数，， §2 双线性函数 定义是数域上一个向量空间，是的一个二元函数，.如果： 1; 2) ; 3) 则称为上的一个双线性函数. ,双线性函数 则称为上的一个双线性函数 如果,双线性函数 则称为上的一个双线性函数.定义对于上双线性函数，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数. 例1 欧氏空间的内积是上双线性函数. 例2 设都是向量空间上的线性函数，则 是上的一个双线性函数. 例3 设是数域上维列向量构成的向量空间. 如果设， 则， . 则是上的一个双线性函数.是数域上维向量空间上的双线性函数取的一组基., ，, , 则. 就. 定义 设是数域上维向量空间上的一个双线性函数. 是的一组基，则矩阵 (4) 叫做在下的度量矩阵. 上面的讨论说明，取定的一组基后，每个双线性函数都对应于一个级矩阵，就是这个双线性函数在基下的度量矩阵. 度量矩阵被双线性函数及基唯一确定. 而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的. 例3和的一组基双线性函数在下的度量矩阵就是.因此，在给定的基下，上全体双线性函数与上全体级矩阵之间的一个双射 在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设是向量空间的两组基： 是中两个向量 , 那么 如果双线性函数在下的度量矩阵分别为，则有 . 因此。这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的. 定义 设是向量空间上一个双线性函数，如果对任意，可推出，就叫做非退化的. 可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的.设双线性函数在基下的度量矩阵为，则对,，有 如果向量满足 那么对任意都有 因此， 而有非零向量使上式成立的充要条件为是退化的，因此双线性函数是非退化的充要条件为其度量矩阵为非退化矩阵. 对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简. 但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.对于对称矩阵已有较完整的理论. 设是向量空间上的一个对称双线性函数，对的任一组基，由于故其度量矩阵是对称的，另一方面，如果双线性函数在下的度量矩阵是对称的，那么对中任意两个向量及都有 . 因此是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的.如果在下的度量矩阵为对角矩阵，那么对, 有表示式 . 这个表示式也是在下的度量矩阵为对角形的充分条件. 同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵 我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵. 定理 设是数域上维向量空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，使在这组基下的度量矩阵为对角矩阵. 的一组基在这组基下矩阵为对角形矩阵。 这个定理也可以通过找的一组基，使得 来证明。事实上，若，则 ，则结论已经成立； 若存在，将扩充为的基作数学归纳法。 ，结论显然成立，假设对结论成立， 令，，则，令，则 ，由归纳假定，有的基满足，令，则的一组基，使得。 推论1 设是复数上维向量空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，对中任意向量，有 . 推论2 设是实数上维向量空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，