垂径定理及其推论课件-1.pptVIP

垂径定理三角形 * 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 知识要点 D O A B E C 垂径定理 AE＝BE AC＝BC AD＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD是直径，AB是弦， CD⊥AB ①直径过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 题设 结论 D O A B E C 垂径定理 将题设与结论调换过来，还成立吗？ 这五条进行排列组合，会出现多少个命题？ ① 直径过圆心 ③ 平分弦 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的推论1 D O A B E C 已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立． O A B M N C D 注意 为什么强调这里的弦不是直径？ ① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ③ 平分弦 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧 垂径定理的推论1 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 已知：CD是直径，AB是弦，并且AC＝BC 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，AD＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ D O A B E C ① 直径过圆心 ⑤ 平分弦所对的劣弧 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧 ② 垂直于弦 垂径定理的推论1 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，AC＝BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ D O A B E C ② 垂直于弦 ③ 平分弦 ① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 （3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的推论1 已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB， 求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ D O A B E C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧 ① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧 （4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧． ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧 ① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧 （5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ． ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧 ① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 ① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦 （6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心，并且垂直平分弦． ∴AM＝BM， CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 垂径定理的推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等． M O A B N C D 证明：作直径MN垂直于弦AB ∵ AB∥CD ∴ 直径MN也垂直于弦CD ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 即 AC＝BD A B C D 两条弦在圆心的同侧 两条弦在圆心的两侧 垂径定理的推论2有这两种情况： O O A B C D C D A B E 已知：AB． 求作：AB的中点． ⌒ ⌒ 点E就是所求AB的中点． ⌒ 作法： 1． 连结AB． 2． 作AB的垂直平分线 CD，交AB于点E． ⌒ 小练习 A B C D E 已知：AB． 求作：AB的四等分点． ⌒ ⌒ 作法： 1． 连结AB． 3． 连结AC． 2． 作AB的垂直平分线 ，交AB于点E． ⌒ 4． 作AC的垂直平分线 ，交AC于点F． ⌒ 5． 点G同理． 点D、C、E就是AB的四等分点． ⌒ A B C 作AC的垂直平分线 作BC的垂直平分线 等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线． × C A B O 你能确定AB的圆心吗？ ⌒ 作法： 1． 连结AB． 2． 作AB的垂直平分线 ，交AB于点C． ⌒ 3． 作AC、BC的垂直平分线． 4． 三条垂直平分线交于一点O． 点O就是AB的圆心． ⌒ 你能破镜重圆吗？ A B C m n O 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 作法： 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． d + h = r d h a