第三讲：指数函数、对数函数.docVIP

第三讲：指数函数、对数函数 【例1】 ⑴已知函数满足：当时，；当时，，则　　　　　　　． ⑵求函数的定义域、值域及其单调区间. ⑶设函数若，则实数的取值范围是 ． ⑷设且，函数有最大值，则不等式的解集为　　　　　　　　． 【例2】已知定义域为的函数是奇函数.⑴求的值；⑵若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【例3】已知函数及 ⑴解方程：； ⑵解关于的不等式：； 【例4】已知函数是偶函数. ⑴求； ⑵若函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； ⑶设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 【课堂演练】 1．在上为减函数，则　　　　　　． 2.已知函数，当其值域为时，则的取值范围是 ． 3.已知函数,且关于的方程有且只有一个实根,则实数的范围是 . 4.设　则满足的的取值范围是　　　　　． 5.已知函数,正实数满足,且,若在区间上的最大值为,则 . 6．设且，函数有最大值，求函数的单调减区间为　　　　　　　　． 7．已知函数, （1）求的值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）用定义判断函数的单调性； （4）解不等式 8．为何值时，方程有解？只有一解？ 第三讲：指数函数、对数函数 【例1】 ⑴已知函数满足：当时，；当时，，则　　　　　　　． ⑵求函数的定义域、值域及其单调区间. ⑶设函数若，则实数的取值范围是 ． 由； ⑷设且，函数有最大值，则不等式的解集为　　　　　　　　． 【例2】已知定义域为的函数是奇函数.⑴求的值；⑵若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 解：⑴； ⑵为奇函数且为减函数，，解得． 【例3】已知函数及 ⑴解方程：； ⑵解关于的不等式：； ⑶设是图象上的两点，求证：． 解：⑴； ⑵．．．不等式可化为．．不等式的解集为． ⑶证明：．，．时，的定义域为；时，的定义域为． 当时，，．．． ，即．同理可证，当时，也有．综上所述：，即．． 【例4】已知函数是偶函数. ⑴求； ⑵若函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； ⑶设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 解：⑴； ⑵由⑴知，，即方程无解．令，则函数的图象与直线无交点．，易知在上是单调减函数，，．． ⑶由题意知，方程有且只有一个实数根．令，则关于的方程有且只有一个正根．若，则，不合题意，舍去；若，则方程的两根异号，或方程有两相等正根，则，但，不合题意，舍去．而，方程有两根异号，综上所述，． 【课堂演练】 1．在上为减函数，则　　　　　　． 2.已知函数的定义域为，当其值域为时，则的最大值是 ． 3.已知函数,且关于的方程有且只有一个实根,则实数的范围是 . 4.设　则满足的的取值范围是　　　　　． 5.已知函数,正实数满足,且,若在区间上的最大值为,则 . 6．设且，函数有最大值，求函数的单调减区间为　　　　　　　　． 7．已知函数, （1）求的值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）用定义判断函数的单调性； （4）解不等式 8．为何值时，方程有解？只有一解？ 问题转化为在上有解，得 当时只有一解 1.设集合，，则 . 2．已知函数．若在区间上是减函数，则实数的取值范围是　　　　　　．