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满分解答（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10． 在Rt△CDE中，CD＝5，所以，． （2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3． 由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN． 所以．所以，． 图2 图3 图4 ①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时．所以． ②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时．所以． （3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，． 在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝C． ．所以． ②如图6，当QC＝QD时，由，可得． 所以QN＝CN－CQ＝（如图2所示）． 此时．所以． ③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6 图5 图6 考点伸展如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解． 满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1． 所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1． 当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． 由，BO＝CO，得PH＝BH＝2)、(1,)或(1,0)． 考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)． 在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2． ①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1． 此时点M的坐标为(1, 1)． ②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得． 此时点M的坐标为(1,)或(1,)． ③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6． 当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)． 图3 图4 图5 满分解答 （1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C． 在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，． 所以点B的坐标为． （2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)， 代入点B，．解得． 所以抛物线的解析式为． （3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)． ①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得． 当P在时，B、O、P三点共线（如图2）． ②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得． ③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得． 综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示． 图2 图3 考点伸展 如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形． 由，得抛物线的顶点为． 因此．所以∠DOA＝30＝0°． 满分解答 （1）解方程组 得 所以点A的坐标是(3，4)． 令，得．所以点B的坐标是(7，0)． （2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6． 因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8． 图2 图3 图4 ②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4． 如图1，在△AOB中，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B． 如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴． 因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况． 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1． 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7． 在△APQ中， 为定值，，． 如图5，当AP＝AQ时，解方程，得． 如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得． 如7，当PA＝PQ时，那么．因此．解方程，得． 综上所述，t＝1或或5或时，△APQ是等腰三角形