二次函数与直线型.docVIP

二次函数与直线型 1、（湖南株洲市10,24题）如图，一次函数分别交y轴、x 轴于A、B两点，抛物线过A、B两点。 （1）求这个抛物线的解析式（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N。求当t 取何值时，MN有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标。 【解析】（1）根据一次函数的解析及两坐标轴交点坐标，求出二次函数的解析式；（2）根据M、N所处的位置用含有t的代数表示出M、N的坐标，利用MN在直线 x=t，求出MN的长，根据ｔ的取值确定MN的最大值；（3）利用平行四边形的对边平行且相等的方法确定D点的坐标. 【解】（1）易得A（0，2），B（4，0） ……… 1分 将x=0,y=2代入 ………2 分 将x=4,y=0代入 ……… 3分 （2）由题意易得 ……… 4分 ……… 5分 当 ………6 分 （3）由题意可知，D的可能位置有如图三种情形 ……… 7分 当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a） 由AD=MN得， 从而D为（0，6）或D（0，-2） ……… 8分 当D不在y轴上时，由图可知 易得 由两方程联立解得D为（4，4） ……… 9分 故所求的D为（0，6），（0，-2）或（4，4） … 10分 【点评】求解析式的关键是确定图象上点的坐标，点坐标的确定关键要看题中的所给的条件适合哪种方法. 2、（2012浙江省市与轴的另一个交点为A。过点作直线轴于点M，交抛物线于点B。记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）。连结CB,CP。 （1）当时，求点A的坐标及BC的长； （2）当时，连结CA，问为何值时？ （3）过点P作且，问是否存在，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。 【解析】(1) 当m=3时，易；分别令y=0，x=1 易得A、B的坐标.由B，C关于对称轴对称，易得BC=4．(2)构造相似三角形，可算出m值。（3）分情况讨论点E在x轴上或y轴上． 【答案】解：（1）当m=3时，， 令y=0，得，∴∴A(6，0) 当x=1时，y=5，∴B（1，5） ∵抛物线的对称轴为直线x=3， 又∵B，C关于对称轴对称，∴BC=4． （2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）， 由已知得∠ACP=∠BCH=90°， ∴∠ACH=∠PCB, 又∵∠AHC=∠PBC=90°， ∴△ACH∽△PCB，∴． ∵抛物线的对称轴为直线x=m，其中m1， 又∵B,C关于对称轴对称， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴, ∴ ∴∴． （3）∵B，C不重合，∴m≠1． （I）当m＞1时，BC=2(m-1),PM=m, BP=m-1. (i)若点E在x轴上（如图1）， ∵∠CPE=90°，∴∠MPE＋∠BPC=∠MPE＋∠MEP=90°， ∴∠BPC=∠MEP． 又∵∠CPB=∠PME=90°，PC=EP ∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM, ∴2（m－1）=m， ∴m=2,此时点E的坐标是（2，0）． （II），此时点E的坐标是． （ii）若点E在y轴上（如图4）， 过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1, ∴1－m=1，∴m=0（舍去）． 综上所述，当m=2时，点E的坐标是（2，0）或（0，4）； 当时，点E的坐标是． 【点评】本题以二次函数图象为载体，结合一元二次方程、相似三角形与问题；考查了初中数学的主要知识：函数与方程，考查了学生综合运用数学知识以及运用转化思想、数形结合思想、函数与方程思想解决问题的能力，.试题由易到难，层层递进，具有一定的梯度难度较大. 如图8，已知△ABC的三个顶点坐标分别为 （1）求经过A、B、C三点抛物线解析式 （2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE （3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由。 析：的值。（2）求出直线BC的解析式及点E的坐标，过点C向y轴是这两个三角形的公共角，证明它们的夹边是否对应成比例即可。 【解答：—1 （1）解：设抛物线的解析式为 在抛物线上，， 故 为所求 （2）过点C作CG⊥y轴， ，设直线BC的解析式为