二次函数图象特征专题.docVIP

二次函数 ●见证考题 【考题】 (2004年福建卷)已知f(x)= (x∈R)在区间［－1，1］上是增函数. (1)求实数a的值所组成的集合A； (2)设关于x的方程f(x)= 的两根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈［－1，1］恒成立?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：(1)f′(x)= = ， ∵f(x)在［－1，1］上是增函数， ∴f′(x)≥0对x∈［－1，1］恒成立， 即x2－ax－2≤0对x∈［－1，1］恒??? 成立.???????????????????????????????????????????????? ? ① 设φ(x)=x2－ax－2. 方法一：① －1≤a≤1. ∵对x∈［－1，1］，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f′(－1)=0，以及当a=?? －1时，f′(1)=0， ∴A=｛a｜－1≤a≤1｝. 方法二：① 或 0a≤1或－1≤a＜0 －1≤a≤1. ∵对x∈［－1，1］，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f′(－1)=0以及当a=－1时，f′(1)=0， ∴A=｛a｜－1≤a≤1｝. (2)由 = ，得x2－ax－2=0. ∵Δ=a2+8＞0，∴x1、x2是方程x2－?? ax－2=0的两实根. ∴ 从而|x1－x2|= . ∵－1≤a≤1， ∴|x1－x2|= ≤3.要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈［－1，1］恒成立，当且仅当m2+tm+1≥3对任意??? t∈［－1，1］恒成立，即m2+tm－2≥0对任意t∈［－1，1］恒成立.??????????? ② 设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2). 方法一：② ? m≥2或m≤－2. 所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈［－1，1］恒成立，其取值范围是｛m｜m≥2或m≤－2｝. 方法二：当m=0时，②显然不成立； 当m≠0时， ② 或 m≥2或m≤－2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及 t∈［－1，1］恒成立，其取值范围是｛m｜m≥2或m≤－2｝. 点拨：一次函数、二次函数在闭区间大于等于零恒成立，利用单调性、对称轴及区间端点求解是通法. ●知识链接 1.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象形状、对称性、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据. 2.对于函数f(x)=a(x－h)2+k(a＞0)，x∈［p，q］的最值问题.若h∈［p，q］，则x=h时有最小值k，最大值是f(p)与f(q)中较大者.若h ［p，q］，则f(p)、f(q)中较小者为最小值，较大者为最大值. 3.根的分布的基本原理是：设函数y=ax2+bx+c(a≠0)，若对区间［a，b］有f(a)· f(b)≤0，则曲线必与x轴相交(至少有一交点，且交点必在［a，b］上).设x1、x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的两根，根的分布与对应函数y=ax2+bx+c图象，与其等价不等式组的关系是： (1)若x1＜x2＜m，则 (2)若m＜x1＜x2，则 (3)若x1＜m＜x2，则f(m)＜0； (4)若x1、x2∈(m1，m2)，则 (5)若x1、x2有且仅有一个在(m1，m2)内，则f(m1)f(m2)＜0. 4.f(x)=a(x－x1)(x－x2)，应用于二次函数和x轴交点及一元二次方程的根等方面?? 问题 ●重点、难点、疑点剖析 一、二次函数在给定区间上的最值问题是重点 【例1】 已知函数y=4x2－4mx+m2－2m+2在区间［0，2］上有最小值3，求实数m的取值范围. 分析：要考虑二次函数的对称轴x= 与给定区间［0，2］的位置关系. 解：f(x)=4(x－ )2－2m+2的图象开口向上，对称轴为x= .当 ＞2(如图①)，即m＞4时，最小值为f(2)，令f(2)=3， 即4·22－4m·2+m2+2－2m=3，解得m=5± (舍去5－ ); 当 ∈［0，2］(如图②)，即0≤m≤4时，最小值为f( )，令f( )=3，即?????? －2m+2=3，解得m=－ (舍); 当 ＜0，(如图③)即m＜0时，最小值为f(0)， 令f(0)=3，4×02－4m×0+m2－2m+2=3，解得m=1± (舍去m=1+ ). ∴m=5+ 或m=1－ . 归纳：本题考查了二次函数性质、配方法、图象法及分类讨论的思想；要注意函数的定义域，要考虑对称轴是否在函数所给的定义域之内. 【类题演练1】 求函数f(x)=2x2－6x+1在区间［－1，1］上的最值. 解：f(x)=2(x－