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* §9.1 定义与基本性质 * §2 标准正交基　　　 §3 同构 §4 正交变换 §1 定义与基本性质 §6 对称矩阵的标准形 §8酉空间介绍 §7 向量到子空间的 　 距离─最小二乘法 小结与习题 第九章 欧氏空间 §5 子空间 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一、欧氏空间的定义 　　§9.1 定义与基本性质 二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 问题的引入： 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及. 其具体模型为几何空间　 、 1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算， 但几何空间的度量 长度： 都可以通过内积反映出来： 夹角　　　 ： 2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质 3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 满足性质： 当且仅当 时 一、欧氏空间的定义 1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量 、　定义一个二元实函数，记作 ，若 （对称性） （数乘） （可加性） （正定性） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ① V为实数域 R上的线性空间; ② V除向量的线性运算外，还有“内积”运算; ③ 欧氏空间 V是特殊的线性空间 则称 为 和 的内积，并称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧氏空间. 注： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1．在 中，对于向量 当 时，1）即为几何空间 中内积在直角 坐标系下的表达式 . 　即 这样 对于内积　　　就成为一个欧氏空间. 易证 满足定义中的性质　～　. 1）定义 （1） 所以, 为内积. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2）定义 从而 对于内积　　　也构成一个欧氏空间. 由于对 未必有 注意： 所以1），2）是两种不同的内积. 从而 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间. 易证 满足定义中的性质　～　. 所以 也为内积. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例2． 为闭区间 上的所有实连续函数 所成线性空间，对于函数 ，定义 （2） 则 对于（2）作成一个欧氏空间. 证： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 且若 则 从而 故 因此， 为内积， 为欧氏空间. Ev