北师大版数学必修1《3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计.docVIP

§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 ----教学设计 教材分析 指数函数和对数函数是高中数学函数中的两类重要的函数模型．教材第三章《指数函数和对数函数》主要有三大块内容：指数运算和指数函数的图像与性质、对数运算和对数函数的图像与性质、指数函数对数函数幂函数增长速度的对比.知识结构如下图所示： 教学目标 1.知识与技能过程与方法情态与价值教师的启发式讲授与学生的动手实践、自主探索、合作交流相结合时，指数函数是增函数，并且当越大时，其函数值得增长就越快． 当时，对数函数是增函数，并且当越小时，其函数值得增长就越快． 当，时，幂函数显然也是增函数，并且当越小时，越大其函数值得增长就越快． 那么，对于这三种增加的函数，它们的函数的增长快慢有何差别？ 二、组织活动，进行探究 活动一：用几何画板（或Microsoft Math）上判断函数、、的单调性； ②用几何画板在同一坐标系中画出下列函数的图像； ③结合函数图像找出交点坐标； ④请在函数图像上分别标出不等式和成立的自变量的取值范围； ⑤由以上问题你能得到什么结论？ 谈论结果： ①在区间上函数、、的单调递增的函数； ②图像略． ③从图像上看的图像与另外两个函数的图像没有交点，且总在另外两个函数的图像的下方，的图像与的交点有两个和． ④和成立的自变量的取值范围分别为和． ⑤简单归纳三种函数增长的快慢．、、函数的增长不在一个数量级上．从图像可知随着的增大增长速度越来越慢，而、的增长速度越来越快，但是的增长速度更快． 活动二：我们通过对三个具体函数、（）、的函数值（取近似值）的比较，来体会它们增长的快慢． ①完成表3-13（借助自变量 函数值 … … … … 1 2 1 0 1.0070044 2.0097338 2.0097258 0.0100700 10 1024 3.3219 100 6.6439 300 8.2288 500 8.9658 700 9.4512 900 9.96 996 9.8138 1000 9.9658 1100 10.1033 1200 10.2288 … … … … ②利用表3-13中的数据完成表3-14 的变化区间 函数值 1022 3.32 3.32 1.585 0.737 0.485 0.3625 0.152 0.137 0.1255 和幂函数，通过探索可以发现，在区间上，无论比大多少，尽管在ｘ的一定变化范围内，会小于，但由于的增长快于的增长，因此总存在一个，当时，就会有． 同样地，对于对数函数和幂函数，在区间上，随着的增大，增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与轴平行一样．尽管在的一定变化范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总存在一个，当时，就会有． 综上所述，在区间上，尽管，和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度．而的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个，当时，就有． 四、实际应用 例1：函数与的图像交点（ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：、、．问：其中哪个模型能符合公司的要求？ 解：借助计算器或计算中心机作出函数、、、的图像（如下）： 对于模型它在区间上递增，当时，，因此该模型不符合要求；对于模型，由函数图像，并利用计算器，可知在区间内有一个点满足，由于它在上递增，因此当时，，因此该模型也不符合要求；对于模型，它在区间上递增，而且当时，，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求． 再计算按模型奖励时，奖金是否不超过利润的，即当时，是否有成立． 令，利用计算器或计算机作出函数的图像（如图）． 由图可知它是减函数，因此．即．所以，当时，．说明按模型奖励，奖金不会超过利润的． 综上所述，模型确实符合公司要求． 五、课堂小结 （1）指数函数，对数函数，幂函数的图像以及它们各自的增减性. （2）知道指数爆炸在生活中的一些直观的感受，并且能用计算器或设计程序来解决问题. （3）由解析式可以推知函数的变化，同时也能够熟练地由图像还原至所学的解析式，达到能够灵活的运用数形结合来解决题目的目的. 六、作业布置 课本103页：习题3-6 1、2． 七、板书设计 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 1.指数函数、对数函数、幂函数的增长 ① ② ③ 2.