例说用二次函数求图形面积的最值.docVIP

例说用二次函数求图形面积的最值 二次函数常用来解决最优化问题这类问题。而图形面积最优化问题已经走进各省市的中考试卷。下面分类予以说明。 围成图形面积的最值 只围二边的矩形的面积最值问题 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。 设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式； 当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 分析：关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。 解：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18- x）（米）， 根据题意，得：； 又∵ （2）∵中，a= -1＜0，∴y有最大值， 即当时， 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。 点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。 只围三边的矩形的面积最值 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？ 分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式 解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（）（米）， 根据题意，得：； 又∵ ∵中，a=＜0，∴y有最大值， 即当时， 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为平方米。 点评：如果设养鸡场的宽为x，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。 围成正方形的面积最值 例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． 解得： 当时，20-x=4；当时，20-x=16 答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是cm，围成两个正方形的面积为ycm2， 根据题意，得：， ∵中，a= 2＞0，∴y有最小值， 即当时，=12.5＞12,故两个正方形面积的和不可能是12cm2. 围成扇形的面积最值 例4 用长为30米的铁丝围成一个扇形,问如何围扇形的面积最大? 解: 如图3，设围成扇形的半径为R米,则围成扇形的弧长为(30-2R)米, 扇形的面积为y（平方米）, 根据题意，得： ∵中， a= -1＜0，∴y有最大值， 即当时， 故当围成的扇形的半径R是米时，扇形的面积最大，最大面积为平方米。 截出图形面积的最值问题 例5 如图4,△ABC是一块锐角三角形的余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成长方形零件PQMN ,使长方形PQMN的边QM在BC上,其余两点P、N在AB、AC上。 问如何截才能使长方形PQMN的面积S最大？ 在这个长方形零件PQMN面积最大时，能否将余下的材料△APN、△BPQ △NMC 剪下再拼成（不计接缝用料和损耗）一个与长方形零件PQMN大小一样的长方形？若能，给出一种拼法；若不能，试说明理由。 分析：解题的关键是利用几何知识求得函数关系式，再利用函数的性质加以解决问题。 解：（1）设长方形零件PQMN的边PN=a mm，PQ=x mm，则AE=AD-ED=AD-PQ=（80- x）mm， ∵PN∥BC ∴△APN∽△ABC，∴（相似三角形的对应高的比等于相似比） ∴，∵，∴0＜x＜80 ∴S=（0＜x＜80） ∵S=（0＜x＜80）中，a=＜0，∴S有最大值， 即当时， 故当截得的长方形零件PQMN的长为60 mm，宽为40 mm 时，长方形零件PQMN的面积最大，最大面积为2400mm2。 点评：长方形零件PQMN的面积最大时，PN恰好是三角形的中位线。 （2）能。 理由是： 拼法： 作△ABC的中位线PN， 分别过P、N两点作BC的垂线，垂足分别为Q、M， 过A作BC的平行线，分别交QP、MN的延长线于G、H两点 因此，四边形PNGH即为和长方形PQMN大小一样的长方形。 例6 如图6，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG =x，已知AB=6，CD=3，AD=4。 求：（1）四边形CGEF的面积S与x之间的函数关系式； （2）四边形CGEF的面积S是否存在着最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。 解：（1）梯形ABCD的面积为==18， S△AEF=AE×AF=x（6-x）=3x-x2； S△DGE=DE×DG=x（4-x）=2x-x2； S△BCF=BF×DA=x×4=2x； 所以，S=18-（3x-x2）-（2x-x2）-2x =x2-7x+18； 因为：GC＞0、DE＞0、AF＞0，所以6-x＞0、3-x＞0、4-x＞0、x＞0 所以0＜x＜3因此自变量x的取值范围是：0＜x＜3。 （2）因为S =x2-7x