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高代选讲第七章 一﹑填空题 1．设是线性空间的线性变换， 则的维数是。 2．设是线性空间的线性变换， 则的维数是。 3．设是数域P上线性空间V的线性变换，是的特征根，且满足，则定是的属于特征值的特征向量，（填一，或 不一）。 4．设是一个n阶复矩阵，那么可以对角化的充分条件是。 5．已知矩阵与矩阵相似, 则矩阵的特征多项式为。 6．设是线性空间中的一个线性变换, 是的一组基, 且已知，，，则的值域的维数为( ), 的核的维数为。 7．设是线性空间中的一个线性变换, ,是的一组基, 且, , , 那么在基下的矩阵为。 8．设是数域P上线性空间的线性变换, 是 的子空间, 如果,就称是的不变子空间。 9．设是线性空间中的一个线性变换, 是的一组基, 且已知，，，则的值域的一个基为 ( ) , 的核的一个基为。 10．设分别是线性变换的属于不同特征值的特征向量，则一定 的特征向量（填是，或 不是）。 11．设同是数域上的线性空间，则同构的充分必要条件是。 12．设A是维线性空间的一个线性变换, A的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件为。 二、选择题 1．下面所定义的变换中，线性变换的个数是（ ）： （1）在中， ； （2）在中， ； （3）把复数域看成复数域上的向量空间，对任意复数，定义； A．0 B．1 C．2 D．3 2．下面所定义的变换中，线性变换的个数是（ ）： （1）把复数域看成复数域上的向量空间，对任意复数，定义； （2）在中， ； （3）在中，，其中是一固定的数； A．0 B．1 C．2 D．3 3．下面所定义的变换中，线性变换的个数是（ ）： （1）在中，，其中是一固定的数； （2）在中， ； （3）在中， ； A．0 B．1 C．2 D．3 4．下列四个命题中正确命题的个数是（ ） 命题1 线性空间中的线性变换在的给定基下的矩阵是唯一的。 命题2 线性空间中的线性变换在的给定基下的矩阵是可逆的。 命题3 同一个线性变换在不同基下的矩阵可能相同。 命题4 两个阶矩阵相似当且仅当它们的秩相等。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．设是线性空间中的线性变换，是的的不变子空间，下列的四个子集中有（ ）个是的不变子空间。 （1）； （2）； （3）；（4）。 A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列四个命题中正确的个数是（ ） 命题1 一个特征向量可能属于两个不同的特征植。 命题2 一个特征向量只能属于一个特征植。 命题3 两个特征向量的线性组合仍是特征向量。 命题4 属于同一个特征值的两个不同特征向量的非零线性组合一定还是特征向量。 A．1 B．2 C．3 D．4 7．设，是向量空间中如下定义的两个线性变换： 下列两个等式为恒等变换）中正确的个数是（　　　）。 A．0 B．1 C．2 D．3 8．设是数域上维向量空间Ｖ中的一个线性变换，是的一个基，下列说法正确的是（　　　）。 A． B．的维数一定等于 C．一定线性无关 D．一定线性相关 9．设是维线性空间中的线性变换，下列命题中错误的是（　　　）。 A．若　则　维； B．若　则　维； C．； D．若维　则　。 10．设是数域上维线性空间的线性变换，且，下列说法正确的是（　　　　）。 A．线性无关　则一定线性无关； B．线性无关，则一定线性相关； C．线性相关，则一定线性相关； D．线性相关，则一定线性无关。 三、基础题 1、设，求 2、求方阵的逆矩阵，其中. 3、已知阶方阵的特征值是，求（1）的特征值；（2）的特征值；（3）的特征值；（4）的特征值；（5）可逆时，的特征值；（6）可逆时，的特征值；（7）的特征值；（8）设，求的特征值。 4、设有4阶方阵A满足条件，，，求的一个特征值。 5、设A是方阵，若（对合矩阵），证明A的特征值只有1或-1。 6、假设A是幂等矩阵，即，试证A的特征值只有1或0。 7、已知三阶矩阵A与三维列向量使得向量组线性无关，且满足，（1）记，求3阶矩阵B，使；（2）计算行列式，其中E为3阶单位矩阵。 8、已知的线性变换，求的特征值与特征向量