（精）高数空间解析几何.ppt

四、二次曲面 解 平面解析几何中 空间解析几何中 斜率为1的直线 方程 下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？ 思考题 思考题 表示双曲线. 解答 方程 表示怎样的曲线？ 3、空间曲线 [1] 空间曲线的一般方程 [2] 空间曲线的参数方程 空间曲线可视为二曲面的交线 P32 例1 方程组 x y z 表示的曲线 表示的空间曲线 P32例2 方程 球心在原点,半径为 a 的上半球面 圆柱面: 母线平行于z轴, 底面是直径为 a , 圆心 ( )的圆 )q x y z 圆柱底面参数化 : 参数q 的几何意义: 圆心角 ,0≤q ≤2p 代入球面方程得 抛物柱面 x2=1-z 和平面 y=0, z=0 及 x+y=1 所围立体 x y z [2] 空间曲线的参数方程 空间曲线可视为二曲面的交线 空间动点M 在圆柱面 x 2 +y 2 =a 2上以角速率w 绕 z 轴旋转,同时又以线速率 v 沿平行于z 轴的正向上升( 其中w 、v 都是常数), 这时动点M的轨迹称为螺旋线. 试建立它的参数方程 解 取时间 t 为参数, t =0时动点位于 A (a,0,0) 设时刻 t 时动点 M 位于 (x, y, z) 设 M 在 xoy 平面上的投影M′(x, y, 0) A x a 螺旋线的参数方程 螺距 逃逸实验: 0-0试验 * 举例说明该问题 单叶双曲面是直纹面（定义见马鞍 面）。 单叶双曲面是双重的直纹面，即：它有两个直母线系。 单叶双曲面是直纹面（定义见马鞍 面）。 单叶双曲面是双重的直纹面，即：它有两个直母线系。 在平面上，双曲线有渐进线。相仿， 单叶双曲面和双叶双曲面有渐进锥面。 用z=h去截它们，当|h|无限增大时， 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。 马鞍面是直纹面。 直纹面 一曲面S称为直纹面：如果有一族直线，这一族中每一条直线全在S上，并且S上每一点都在这一族的某一条直线上。 这样一族直线称为曲面S的一族直母线。 马鞍面有两个直母线系。 曲面讨论的两个基本问题： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知方程 F (x, y, z ) =0，研究这方程的图形； 二、旋转曲面 定直线 L 称为旋转轴. 　一条平面曲线 C 绕其平面上 一条直线 L 旋转所形成的曲面，称为旋转曲面 . 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面 的方程. 建立 y oz 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0 设 M( x, y, z ) 为旋转曲面上任意一点， 过点 M 作平面垂直于 z 轴，交 z 轴于点 P ( 0, 0, z )， 交曲线 C 于点M0( 0, y0, z0 ). 显然 x y z O 因为 M0 在曲线 C 上，故 f ( y0 , z0 ) = 0 即得 C 绕 z 轴旋转的旋转曲面方程: 同理, C 绕 y 轴旋转的旋转曲面方程: C M0 . P . M L 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转所成的旋转面叫圆锥面 圆锥面的顶点 , 圆锥面的半顶角a ( 0 a p / 2) a ) . 建立以顶点为原点,旋转轴为 z 轴, 半顶角为 a 的圆锥面方程 yoz 坐标面上直线L的方程 z = y cota 故 L 绕 z 轴旋转的方程 z = y cota 令 cota = a ,则所求圆锥面方程为 P25例 4 P26例 5 xoz 坐标面上的双曲线 分别绕 x、z 轴旋 x z o 转一周，求所得旋转曲面方程 绕 x 轴转所得曲面称为旋转双叶双曲面, 曲面方程为 绕 z 轴转所得曲面称为旋转单叶双曲面, 曲面方程为 x z o yoz 坐标面上的抛物线 z = ay2 绕 z 轴旋转所得的曲面方程为 称为旋转抛物面. 当 a 0 时，旋转抛物面的开口向下. 一般地， 所表示的曲面称为椭圆抛物面。 x y z O 请写出旋转椭球面方程 三、柱面 曲线 C 称为柱面的准线， 平移的动直线 L 叫柱面的母线. 动直线 L沿给定曲线 C 平移所形成的曲面称为柱面. L C 方程 f (x , y)= 0 在 xoy 平面上表示一条曲线 C 在 Oxyz 空间坐标系中应视作三元方程而表示一曲面S x y z O 设 xOy 平面上点 N (x , y) 在曲线 C 上,即 f (x , y)= 0 过 N