（精）高数第10章.ppt

10.1 第一类曲线积分 10.2 第二类曲线积分 10.3 格林定理 10.4 平面曲线积分与路径无关 全微分求积 10.5 两类曲面积分及其计算 10.6 高斯定理 斯托克斯定理 10.7 散度与旋度 由对称性，可得 于是所求曲面积分 例5 计算曲面积分 解：I=I1+I2，先计算 S在xOy平面上的投影区域D为x2+y2≤4，由于S取下侧，故 (利用极坐标) 其中S为旋转抛物面 上0≤z≤2的部分，并取下侧 再计算 ，把S分成两部分： ，取前侧 ，取后侧 它们在yOz平面上的投影区域都是 则 (令y=2sint) 于是所求曲面积分为 故 这就是两类曲线积分之间的关系式 对于空间曲线段L，两类曲线积分之间的关系为 其中α、β、γ为有向曲线的切线的三个方向角 建立了两类曲线积分之间的关系后，就可以把变力F沿曲线C作功化为第一类曲线积分来表示 其中θ为作用力F 与有向切线之间的交角(如图) 如果记 则 于是变力F 沿曲线作功可以用矢量形式表示为 对于变力沿空间曲线作功可以写出类似的公式 10.3 格林定理 格林定理 设函数P(x，y)、Q(x，y)及其一阶偏导数在区域D上连续，则有 其中C是区域D的边界，且取正向。公式(1)也称作格林公式 例1 计算曲线积分 其中C是圆周x2+y2=a2且取正向 解：方法一 直接计算，把圆x2+y2=a2化为参数方程 x=acost，y=bsint (0≤t≤2π) 方法二 用格林公式。这里P =xy2 – 4y，Q =x2y，利用格林公式，得 其中D为圆域 x2+y2≤a2 例2 计算曲线积分 其中C1为摆线x=a(t–sint)及y=a(1–cost)由O(0，0)到 A(2πa，0)的一拱(如图) 解：为了应用格林公式，就要补充由A到O的直线段C2，使C1和C2组成闭曲线C–，C–的方向为区域D边界的负向 故 对于积分I1可应用格林公式，其中P =e–xcosy –2y，O=e–xsiny –x，并注意到C–是区域D的边界取负向 故有 又在直线C2上，y=0，dy=0，故 于是所求曲线积分为 直接计算这曲线积分就十分麻烦了 例3 求星形线x =acos3t，y=asin3t所围的面积 解： 10.4 平面曲线积分与路线无关 全微分求积 10.4.1 平面曲线积分与路线无关 建立了格林定理后，现在可以讨论线积分中的一个很重要的问题：线积分与路线无关 一般地说，对于给定在区域Δ上的函数P(x，y)和Q(x，y)，任意取定Δ上的点M0及M1，不论C是起 我们知道，线积分 不仅与被积函数 P(x，y)和Q(x，y)有关，而且一般说来与积分曲线有关。 自M0终止于M1的怎样的曲线，线积分 都有相同的值，则称线积分(1)在Δ上与(积分)路线无关，否则就称该线积分与路线有关。当线积分与路线无关时，可以不必指出积分曲线而把它记作 要使线积分与路线无关，函数P(x，y)和Q(x，y)必须满足一定的条件 定理1 设函数P(x，y)、Q(x，y)及其一阶偏导数在单连域Δ上连续，则对Δ内所有闭曲线C， 的充分必要条件是 定理2 设函数P(x，y)、Q(x，y)及其一阶偏导数在单连域Δ上连续，则P(x，y)dx+Q(x，y)dy为某函数u(x，y)的全微分的充分必要条件是 从定理1及定理2得知：如果函数P(x，y)、Q(x，y)及其一阶偏导数在单连域Δ上连续，则下列四个命题是互为等价的： 1. 线积分 与路线无关； 2. 沿任意闭曲线C的曲线积分 ； 10.4.2 全微分求积 4. 在Δ中处处有 当P(x，y)dx+Q(x，y)dy是全微分时，也像一元函数的微分式f(x)dx那样，有所谓原函数的概念 定义 如果存在函数u，使du=Pdx+Qdy，则称u为Pdx+Qdy的原函数 由定理2知， 是Pdx+ Qdy的原函数，所以若在单连域Δ上曲线积分与路径无关，则Pdx+Qdy的原函数的一般形式可表示为 3. 表达式P(x，y)dx+Q(x，y)dy是某一函数的全微分； 当Pdx+Qdy为全微分时，由函数P(x，y)、Q(x，y)求原函数u(x，y)称为全微分求积 例1 验证10.2节例3线