（精）高数第三章.ppt

计算 例 解 试求 例 解 如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最 值.(最大值或最小值) 例 解 如图, 例 解 解得 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处 AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货 D 点应如何选取? 20 设 则 得 又 所以 为唯一的极小值 总运费 物从B 运到工厂C 的运费最省, 从而为最小值点 问 20Km , 公路, 例 解 求曲线 的渐进线。 例1 是水平渐进线 是垂直渐进线 解 求曲线 的渐进线。 是水平渐进线 与 是垂直渐进线 例2 解 在 的某邻域内连续，且 ， ，问点 是不是 的极大值点？ 例3 存在 的某个邻域，在该邻域内 在该邻域内 点 是 的极大值点 解 设 在 的某邻域内三阶可导，且满足： ， ， 试判定 是不是 的极值点？ 例4 因为 ， ，故 在 处取得极大值 则在 的某邻域内 （不变号）， 不是 的极值点。 解 已知 对一切实数 满足 ，若对 在某一点 处有极值，问是极大还是极小？ 例5 明显存在二阶导数，根据极值的必要条件， 代入得 ， 当 时 当 时 ，所以 在 处取得极小值。 解 例6 试确定 中的 使得点 为驻点， 为拐点。 曲线通过点 与 故有： （1）与（2）曲线通过驻点与拐点 （3）与（4）在驻点与拐点处的一阶与二阶导数等于零 解得： 解 例7 试求 ，当 时的极值。 本题是隐函数的极值问题， ，令 得 再有 ，故 即 因为 故 为驻点 代入 得 根据极值的第二充分条件 解 例8 费尔马与光的反射定律 一束光线由空气中 点入射到平面镜上然后反射到 点，若 点离平面镜得垂直距离为 ， 点离平面镜得垂直距离为 光线在空气中的传播速度为 且光线总是沿耗时最少的路径传播， 试确定光线的传播途径。 ， 解：如图 光线沿 折线传播， 所需要的时间为 13 设 是由方程 所确定，求： 解 14 设 ，求 解 15 求 解 16 已知 存在，求 时，能用罗必塔法则吗？求出该极限。 不可以使用罗必塔法则 主要问题是无法确定 在 处是否连续 解 求函数 在 上满足拉格朗日中值定理的 。 在 上连续、可导 17 解 18 设 在 上可微，且 证明：方程 最多有一个实根。 证明：设 则 在 上可导 有两个不等的实根， 在 上满足罗尔定理的条件 若方程 存在 使 即 与 矛盾，故方程 不可能有二个不等的实根。最多只有一个实根 如果 ，证明： 19 证明：设 在 上满足拉格朗日中值定理的条件 又 设 在 上存在二阶导数，且 证明：至少存在 使 20 证明：设 在 上连续、可导 在 上满足罗尔定理的条件 使 上满足罗尔定理的条件，存在 使 存在 在 注意：证明二阶导数满足某种关系，往往需要使用二次中值定理 21 设 在 上存在二阶导数，且连接 ， 的弦与曲线 交于 ， ，证明：存在 ，使 。 证明： 在 上存在二阶导数，则 在 与 上满足拉格朗日 存在 中值定理的条件 使 ， ， 三点共线 在 上满足罗尔定理的条件，存在 使 本题使用一次拉格朗日定理与一次罗尔定理 例 解 例 解 证（1） 例 解 例 解 例 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, 证 证明 从而 即 例 证 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 x0 证 例 解 x0 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 例 解 0 x y x1 x2 证 x0 求极值的步骤: 列表讨论 极大值 极小值 例 解 证1） x0 极限的局部保号性 求函数 的极值 . 令 得驻点 因 故 为极小值 ; 又 故需用第一判别法判别. 例 解 设 是方程 且 则 在 取得极大值 ; 在 取得极大值 ; 例 证 因 的解 例 解 * * 证 M 0 x y 例 解 例 证 分析： 弦AB方程为 作辅助函数 证明： 曲线方程 弦AB方程 例 证 例 证 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系； 例 例 解 解 例 解 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但