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中档大题保分练(三) (推荐时间：50分钟) 1． 已知向量m＝(sin x,1)，n＝(A0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6. (1)求A； (2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域． 解　(1)f(x)＝m·n＝Asin xcos x＋cos 2x ＝A＝Asin. 因为A0，由题意知A＝6. (2)由(1)得f(x)＝6sin. 将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝6sin＝6sin的图象； 再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝6sin的图象． 因此g(x)＝6sin. 因为x∈， 所以4x＋∈， 故g(x)在上的值域为[－3,6]． 2． 某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm)．跳高成绩在175 cm以上(包括175 cm)定义为“合格”，成绩在175 cm以下定义为“不合格”．鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员， 学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队． (1)求甲队队员跳高成绩的中位数； (2)如果从所有的运动员中用分层抽样共抽取“合格”与“不合格”的人数共5人，则各抽取多少人？ (3)若从所有“合格”运动员中选取2名，用X表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望． 解　(1)中位数＝＝177 cm. (2)根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人， 用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是＝， 所以选中的“合格”有12×＝2人， “不合格”有18×＝3人． (3)依题意，X的取值为0,1,2.则 P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝. 因此，X的分布列如下： X 0 1 2 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝. 3 如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD.底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝PB，BC＝2AD.点E在棱PA上，且PE＝2EA. (1)求证：CD⊥平面PBD； (2)求二面角A－BE－D的余弦值． (1)证明　以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立如图所示坐标系． 设AD＝1，则 B(0,0,0)，C(2,0,0)，D(1,1,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，E， ＝(－1,1,0)，＝(0,0,1)， ＝(1,1,0)． ∴·＝0，即CD⊥BP. ·＝0，即CD⊥BD， 又PB∩BD＝B，∴CD⊥平面PBD. (2)解　设平面EBD的法向量n＝(x，y,1)， ＝ ∴ ∴n＝， 又平面ABE的法向量为，设二面角的平面角为θ， ∴cos θ＝＝＝. 即二面角A－BE－D的余弦值为. 4． 已知数列{an}是一个公差大于零的等差数列，且a3a6＝55，a2＋a7＝16，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2bn－2. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝，Tn＝c1＋c2＋…＋cn，试比较Tn与的大小，并予以证明． 解　(1)依题意，设等差数列{an}的公差为d(d0)， 则有 将②代入①得(16－3d)(16＋3d)＝220， 即d2＝4，∵d0，∴d＝2，a1＝1，∴an＝2n－1， 当n＝1时，S1＝2b1－2，b1＝2， 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝(2bn－2)－(2bn－1－2) ＝2bn－2bn－1， ∴bn＝2bn－1. ∴{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列． 即bn＝2n. (2)cn＝＝， Tn＝＋＋…＋③ Tn＝＋＋…＋＋④ ∴③－④得，Tn＝＋＋＋…＋－ ＝＋＋＋…＋－ ＝＋－＝－ ∴Tn＝3－. Tn－＝3－－＝， 要比较Tn与的大小， 只需比较2n与2n＋1的大小即可． 由22×1＋1；222×2＋1；232×3＋1,242×4＋1，… 可猜想当n≥3时，2n2n＋1. 证明如下：1°当n＝3时，显然成立． 2°假设n＝k(k≥3)时，猜想成立，即2k2k＋1， 当n＝k＋1时， 2k＋1＝2·2k2(2k＋1)＝4k＋2 ＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)2(k＋1)＋1. ∴当n＝k＋1时，猜想也成立． 由1°，2°知，对一切n≥3的正整数，都有2n2n＋1. 综上，当n＝1,2时，Tn，当n≥3时，Tn.