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开设“非线性电路混沌效应”实验的实践与探索 　　摘要：利用九孔板套件研究了非线性负阻的伏安特性，解释了混沌产生的原因，并且实现了对混沌现象的观测；在突出了非线性负阻在产生混沌过程中所起的决定性作用的同时，简化了电路的连接，有助于学生更形象地理解非线性电路和混沌效应。 　　关键词：九孔板；非线性电路；混沌现象；非线性负阻 　　作者简介：冯娟（1976-），女，山东平原人，中国地质大学（北京）数理学院，讲师；阳天舒（1992-），男，湖南株洲人，中国地质大学（北京）信工学院本科生。（北京 100083） 　　基金项目：本文系2013年大学生创新实验项目（项目编号：2013AB047）、中国地质大学教学研究与教学改革项目（项目编号：JGYB-201233）的研究成果。 　　中图分类号：G642.423 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2014）02-0168-02 　　混沌现象的雏形诞生在一百年以前，法国著名数学家、物理学家儒勒?昂利?庞加莱（Jules Henri Poincaré）在研究三体问题时发现卫星轨道具有不确定性，首先发现了宇观天体中的混沌现象。混沌系统是典型的非线性系统，其长期行为是内部非线性耦合反馈作用的直接结果。非线性动力学以及与此相关的分岔混沌现象的研究，是近二十多年来科学界研究的热门课题。该学科涉及非常广泛的科学范围，从物理学到电子学，从生态学到气象学，从数学到经济学等，应用极为广泛。当前，混沌电路的研究是非线性电路研究的重要分支之一，[1，2]据此，中国地质大学（北京）物理实验中心开设了“非线性电路混沌效应”实验室开放项目。本项目引导学生利用九孔板平台自己建立1个非线性电路，该电路包括1个非线性元件、1个LC振荡器和1个RC移相器。观测振动周期产生的分岔及混沌现象，测量非线性元件的电流-电压特性。不仅使学生增加了专业知识、拓宽了知识面，而且为物理实验教学改革提供了一种新的思路，激发了学生的学习热情。本文将主要针对混沌电路的分析方法、设计方法与数学基础作相关讨论。 　　一、非线性电路原理分析 　　随着科技的发展，对于非线性电路中混沌现象的研究也逐渐深入。产生混沌现象的自治电路至少需要具备3个条件[3]：有1个非线性元件；有1个用于耗散能量的电阻；有 3个存储能量的元件。蔡氏电路是满足这些标准的最简单的电子线路，因此也成为了研究混沌现象的常用电路之一，其元件连接如图1所示。 　　图1中，只有1个非线性元件R2，它是1个有源非线性负阻器件；电感器L1和电容器C1并联组成1个LC振荡器，其损耗可以忽略，产生正弦信号；可变电阻R1和电容器C2串联组成RC移相器，将LC谐振回路产生的正弦波移相输出。非线性元件R2是电路的关键元件，其作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。 　　将C1和C2两端的信号输入示波器，使LC振荡器产生的正弦波，与经过RC移相器移相后的正弦波合成，观测振动周期产生的分岔及混沌现象。[4]上图电路的非线性动力学方程为： 　　（1） 　　式中，G表示电阻R1的导纳，；表示电容器C1上的电压；表示电容器C2上的电压；iL表示通过电感器L1的电流。g为U的函数，如果R2是线性元件，则g为常数，图1电路就是普通的振荡电路，上述方程组的解是正弦函数。将C1和C2两端的信号输入示波器的X、Y轴，合成的李萨如图形是椭圆。如果R2是非线性元件，会出现什么现象？它的伏安特性曲线如图2所示，特性曲线整体表现为非线性，但具有分段线性的特征。因为g总体表现为非线性函数，所以上述的非线性方程组没有解析解。若用计算机编程进行数值计算或者采用仿真软件，可以观察到虚拟实验的混沌现象，但更为直观的方法是利用示波器来观测混沌现象。 　　二、实验设计与数据分析 　　实验配置的仪器是杭州大华科教仪器研究所的DH-SJ系列物理设计性实验装置。非线性电阻是电路的关键元件，它是通过一个双运算放大器和六个电阻组合来实现的，其电路如图3所示，其伏安特性曲线如图2所示。从特性曲线可以看出，电压与电流的极性始终是相反的，并且总体变化是非线性的。 　　1.非线性电阻伏安特性的测量 　　因为混沌现象形成的主要原因是电路中的非线性元件，非线性元件是电路系统产生混沌吸引子的关键元件，因此，测量它的伏安特性是研究电路混沌现象的关键。要实现在九孔板平台上观察电路的混沌现象，并用于教学和各类非专业人士的研究，准确测量非线性负阻的伏安特性是很重要的，按照图4进行接线测量。对非线性负阻串联一个型号为ZX21a的可调电阻箱作其负载，其阻值范围是0～99999.9Ω。同时用到两个四位半的数字万用表，其一测量电路的电流，其二测量负阻两端的电压，用来测量非线性负阻的伏安特性，结果如图3所示。由图可以看出电流和电压的