ch11-2-34方向导数梯度.pptVIP

* 四、方向导数及梯度 设函数 z = f (x , y) 在 P0 = (x0 , y0) 的某邻域内 有定义 , 若点 P ( x , y) 在射线 L 上变化 则有 问题: 研究函数 z = f (x , y) 在点 ( x0 , y0) 处 , 沿方向 的变化情况 给定 , 则过 P0 点且以 为方向的射线方程 : L: * 并且 是 f 在 线段 P0P 上的平均变化率 定义 如果当 时 ( 即 P 沿着 L 趋于 P0 ) , 极限 存在 , 则称此极限值为函数 z = f (x , y) 在 P0 =(x0 , y0) 处 沿方向 的方向导数 , 记作 , 即 * 的几何意义: 当点 P 沿着由 所 确定的射线 L 趋于 P0 点时 , 函数 z = f (x , y) 在点 ( x0 , y0) 处沿 方向的变化率 * * * * * * 梯度 方向导数公式 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 令向量 方向导数取最大值： 当 与 方向一致时， * 说明: (1) 梯度 grad f (x , y) 是一个向量 (2) 对于 , 可类似定义 n 元 函数的梯度 * (3) 如果引进微分算子 ( 称为二维 Hamilton微分算子 ) ( 称为 n 维 Hamilton微分算子 ) 则梯度可表示为 * (4) (a) 当 时 , 即 与 同向 取得最大值 结论: 梯度方向是函数值增长最快的方向 , 且方向 导数有最大值 (b) 当 时 , 即 为负梯度方向 取得最小值 * (c) 当 时 , 结论: 与梯度方向垂直的方向是函数值变化最 微小的方向 结论: 负梯度方向是函数值减少最快的方向 , 且 方向导数有最小值 梯度的基本运算公式 * * * 内容小结 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法 先代后求 先求后代 利用定义 3. 微分定义: * 4. 重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 5. 微分应用 ? 近似计算和误差估计 * 6. 方向导数 ? 三元函数 在点 的方向导数为 ? 二元函数 在点 的方向导数为 沿方向 (方向角 沿方向 (方向角为 * 7. 梯度 ? 三元函数 在点 处的梯度为 ? 二元函数 在点 处的梯度为 关系 方向导数存在 偏导数存在 ? 可微