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一门关于“无穷小”的学问 高 等 数 学 引 言 二、如何学习高等数学 ? 主要内容 第一章 第一节 一、 集合 表示法： 半开区间 2. 集合之间的关系及运算 定义 3 . 给定两个集合 A, B, 二、函数的概念及性质 例4. 已知函数 2. 函数的几种特性 (3) 奇偶性 (4) 周期性 3. 反函数与复合函数 (2) 复合函数 4. 初等函数 非初等函数举例: 例5. 例6. 求 内容小结 * 目录 上页 下页 返回 结束 许 如 星 电 邮：xrxing@cjlu.edu.cn 电 话：60013957176510 办公室：格致中楼509室 一、什么是高等数学 ? 初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学. 数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 ,运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学, 有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生. 恩格斯 1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣. 2. 学数学最好的方式是做数学. 聪明在于学习, 天才在于积累. 学而优则用, 学而优则创. 马克思 恩格斯 要辨证而又唯物地了解自然, 就必须熟悉数学. 一门科学,只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步. 华罗庚 1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册) (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程 多元微积分 分析基础 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁 极限与连续 第一章 二、函数的概念及性质 一、集合 函数 元素 a 属于集合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记作 1. 定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 ? . ( 或 ) . 注: M 为数集 表示 M 中排除 0 的集 ; 表示 M 中排除 0 与负数的集 . 简称集 简称元 (1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 自然数集 (2) 描述法： x 所具有的特征 例: 整数集合 或 有理数集 p 与 q 互质 实数集合 x 为有理数或无理数 开区间 闭区间 无限区间 点的 ? 邻域 其中, a 称为邻域中心 , ? 称为邻域半径 . 去心 ? 邻域 左 ? 邻域 : 右 ? 邻域 : 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 定义2 . 则称 A 若 且 则称 A 与 B 相等, 例如, 显然有下列关系 : , , ? 若 设有集合 记作 记作 必有 并集 交集 且 差集 且 定义下列运算: 余集 直积 特例: 记 为平面上的全体点集 或 设 是实数集 上的一个非空子集，对 中的每一个数 ，按某一确定的法则 ，均有 与之对应，则称 是以 为定义域的（一元）函数（也称为定义在 上的函数），记为： 唯一确定的实数 1. 函数的概念 定义域 称为值域 自变量 因变量 (对应规则) (值域) (定义域) 例如, 反正弦主值 定义域 对应规律的表示方法: 解析法 、图像法 、列表法 使表达式或实际问题有意义的自变量集合. 定义域 值域 又如, 绝对值函数 定义域 值 域 对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域. 对实际问题, 书写函数时必须写出定义域； 解: 及 写出 f (x) 的定义域及值域, 并求 f (x) 的定义域 值域 设函数 且有区间 (1) 有界性 使 称 使 称 说明: 还可定义有上界、有下界、无界 . (2) 单调性 为有界函数. 在 I 上有界. 使 若对任意正数 M , 均存在 则称 f ( x ) 无界. 称 为有上界 称 为有下界 当 称 为 I 上的 称 为 I 上的 单调增函数 ; 单调减函数 . 且有 若 则称 f (x) 为偶函数; 若 则称 f (x) 为奇函数. 说明: 1.若 在 x = 0 有定义 , 为奇函数时, 则当 必有 2. 给定 则 偶函数 奇函数 且 则称 为周期函数 , 若 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). 周期为 ? 周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 狄利克雷函数 x 为有理数 x 为无理数