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《等边三角形》教学设计 一、教学内容： 专题——等边三角形 1. 等边三角形的概念。 2. 等边三角形的性质和判定。 ? 二、知识要点： 1. 等边三角形的概念 两条边相等的三角形叫做等腰三角形，那么三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 2. 等边三角形的性质 （1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三边都相等，它的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 （2）等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，它的任一角的平分线垂直并平分对边。 （3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。它是由等边三角形的性质得出的，体现了直角三角形的性质，它的主要作用是解决直角三角形中的有关计算问题，特别是在以后的学习中应用更广泛。 蒂莲3. 等边三角形的判定 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形。 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 ? 三、考点分析： 等边三角形是一种特殊的等腰三角形，在中考中经常出现，对这部分知识的考查主要是：等边三角形的性质和判定，即边与角的互相转化。 ? 【典型例题】 题型1：角度的计算 例1. 如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，求∠EDC的度数。 ? 分析：先求出∠DAE＝30°，∠AED＝∠ADE＝75°，结合∠EDC＝∠AED－∠C可求。 解：∵△ABC为等边三角形，AD为中线， ∴∠DAE＝∠BAC＝×60°＝30°。 ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝×（180°－∠DAE） ＝×（180°－30°）＝75°。 ∵∠AED＝∠EDC＋∠C， ∴∠EDC＝∠AED－∠C＝75°－60°＝15°。 评析：求角度时注意利用等腰三角形或等边三角形中角的关系及三角形内角和定理。 ? 题型2：线段的计算 例2. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2,∠B＝15°，求腰上的高的长。 ? 分析：△ABC为钝角三角形，要准确作出高CD。 解：过C点作CD⊥BA交BA的延长线于D。 ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝15°（等边对等角）。 ∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝30°。 在Rt△ADC中，∠DAC＝30°， ∴CD＝AC＝1． ∴等腰△ABC腰上的高为1． 评析：准确作出高和利用直角三角形的性质是解决本题的关键，直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半，在计算中应用广泛。 ? 题型3：证明线段相等 例3. 如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，求证：BD＋CD＝AD。 ? 分析：证明BD＋CD＝AD，将AD变为AE＋ED，只要证明BD＝DE，CD＝AE就可以了。 证明：∵△ABC、△BDE为等边三角形， ∴BE＝BD＝DE，AB＝BC，∠ABC＝∠EBD＝60°。 ∴∠ABE＋∠EBC＝∠DBC＋∠EBC。 ∴∠ABE＝∠DBC。 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）。 ∴AE＝CD。 而AD＝AE＋ED，ED＝BD。 ∴BD＋CD＝AD。 评析：本题主要应用了等边三角形的性质和全等在证线段相等中的应用。 ? 题型4：综合创新应用 例4. （2008年广东）如图所示，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC。 ? （1）求∠AEB的大小； （2）如图所示，△OAB固定不动，保持△OCD的形状大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD）不能重叠），求∠AEB的大小。 ? 解：（1）∵△OCD和△OAB为等边三角形， OA＝OB＝OC＝OD，且∠AOB＝∠DOC， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠BOD＝∠AOC，∴△AOC≌△BOD， ∴∠DBO＝∠CAO． ∵∠BAC＋∠CAO＝60°，∴∠DBO＋∠BAC＝60°。 在△ABE中，∠AEB＝180°－（∠BAC＋∠DBO）－∠ABO， 又在等边三角形OAB中，∠ABO＝60°， ∴∠AEB＝180°－60°－60°＝60°。 （2）∵△OCD和△OAB为等边三角形， OA＝OB＝OC＝OD，且∠AOB＝∠DOC， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠BOD＝∠AOC，∴△AOC≌△BOD， ∴∠DBO＝∠CAO． ∵∠EAB＝∠OAB－∠CAO＝60°－∠CAO， ∠EBA＝∠OBA＋∠DBO＝60°＋∠DBO， ∴∠EAB＋∠EBA＝120°。 在△ABE中， ∠AEB＝180°－∠EAB－∠EBA＝180°－120°＝60°。 △OCD旋转到任何位置（与△AOB不重叠），∠AEB＝60° 评析：两个等边三角形的组合问题，常用的解法是找一对全等的三角形，它们的两组对应边往往是等边三角形的边，对