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2009届高考数学复习 数列专项训练4 1设数列的前项的和， （Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明： 解 （I），解得： 所以数列是公比为4的等比数列, 所以： 得： （其中n为正整数） （II） 所以： 2．设点(，0)，和抛物线：y＝x2＋an x＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－，由以下方法得到：x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x2＋anx＋bn上，点(，0)到的距离是到 上点的最短距离． (Ⅰ)求x2及C1的方程． (Ⅱ)证明{}是等差数列． 解：(Ⅰ)由题意,得A(1,0),C1：y=x2-7x+b1. 设点P(x,y)是C1上任意一点,则|A1P|= 令f(x)=(x-1)2+(x2-7x+b1)2,则由题意得,, 即又P2(x2,0)在C1上,∴2=x22 -7x2+b1 解得x2=3,b1=14.故C1方程为y=x2-7x+14. (Ⅱ)设P(x,y)是C1上任意一点,则|AnP|= 令g(x)=(x-xn)2+(x2+anx+bn)2,则, 由题意得,, 即=0, 又∵,∴(xn+1-xn)+2n(2xn+1+an)=0(n≥1), 即(1+2n+1)xn+1-xn+2nan=0, (*) 下面用数学归纳法证明xn=2n-1. ① 当n=1时,x1=1,等式成立. ② 假设当n=k时,等式成立,即xk=2k-1. 则当n=k+1时,由(*)知(1+2k+1)xk+1-xk+2kak=0, (*) 又ak=-2-4k-,∴. 即当n=k+1,时等式成立. 由①②知,等式对n∈N+成立,∴{xn}是等差数列. 3.已知f(x)=(x-1)2，g(x)=4(x-1)，数列｛an｝满足a1=2，(an+1-an)g(an)+f(an)=0。 (1) 用an表示an+1；（2）求证：｛an-1｝是等比数列；（3）若bn=3f(an)-g(an+1)，求{bn}的最大项和最小项。 解：（1）∵(an+1－an)g(an)+f(an)=0，f(an)＝（an－1）2，g(an)＝4（an－1）， ∴（an－1）（4an＋1－3an－1）＝0, 又a1=2，∴。 （2）∵，∴｛an-1｝是以a1-1=1为首项，为公比的等比数列。 （3）由（2）可知：an-1＝，∴an＝＋1。 从而bn= 3f(an)－g(an+1)＝＝ 因为y=为减函数，所以bn中的最大项为b1 =0, 又bn＝， 当n为整数时，，所以只须考虑接近于。 当n=3时，＝与相差，当n=4时，＝与相差 而＞，所以bn中最小项为. 4. 已知函数．设数列满足，，数列满足，…， (Ⅰ)用数学归纳法证明；(Ⅱ)证明 ． （Ⅰ）证明：当 因为a1=1，所以 下面用数学归纳法证明不等式 （1）当n=1时，b1=，不等式成立， （2）假设当n=k时，不等式成立，即 那么 所以，当n=k+1时，不等式也成立。 根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， 所以 故对任意 5．已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点． （Ⅰ）令，求证：数列是等比数列． （Ⅱ）设数列的前项和为，试比较与的大小． 解：（1）因为、在抛物线上，故①②，又因为直线的斜率为，即，①②代入可得 ，故是以为公比的等比数列； （2），故只要比较与的大小． 方法（一）， 当时，； 当时； 当时，． 方法（二）用数学归纳法证明，其中假设时有, 则当时, . 6. 等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列, ，且 ． (1)求与； (2)求和：． 解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数， ， 依题意有① 解得或(舍去) 故 （2） ∴ 7．设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）令求数列的前项和 解：（1）由已知得 解得． 设数列的公比为，由，可得． 又，可知， 即， 解得． 由题意得． ． 故数列的通项为． （2）由于 由（1）得 又 是等差数列． 故． 8．设数列的首项． （1）求的通项公式； （2）设，证明，其中为正整数． 解：（1）由 整理得 ． 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得 （2）方法一： 由（1）可知，故． 那么， 又由（1）知且，故， 因此 为正整数