第3讲 线性规划及单纯第3讲 线性规划及单纯形.docVIP

线性规划及单纯形 1 规划问题及模型 1.1问题提出与建模 (1) 生产计划问题 某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件如表所示，试制订总利润最大的生产计划。 单位产品所需原料数量（吨） 产品Q1 产品Q2 原料可用量（吨/日） 原料P1 4 4 28 原料P2 4 2 20 原料P3 8 32 原料P4 2 4 24 单位产品的利润（万元） 4 6 问题分析 可控因素：每天生产产品的数量，分别设为x1，x2 目标：每天生产利润最大，利润函数 4x1＋6x2 受制条件：每天原料的需求量限制 原料P1：4x1＋4x2 ≤28 原料P2：4x1＋2x2 ≤20 原料P3：8x1≤32 原料P4：2x1＋2x2 ≤24 内蕴约束：产量非负性 x1，x2 ≥0 建立模型 Max 4x1＋6x2 1.2模型的标准化 各种类型的规划问题的线性模型大体上是相同的，既在一组约束条件下寻找极值。规划的一般形式为： 为了讨论的方便，我们规定线性规划问题的标准形式为： 可简写成： 注：要求，否则两端都乘以“－1”。 进一步简写成矩阵形式： 其中： 为价值向量， 为决策变量， 为系数矩阵。 为右端向量， 1.3模型的转换 (1) 目标转换 如何处理的问题？令,转求即可。 (2) 约束转换 ：左端加入非负松弛变量；：左端减去非负松弛变量（又另称剩余变量） 或 (3) 变量转换 若无约束（即可正可负）如何处理？令，通过变成两个非负变量的差便可解决。 2代数解法 我们以下面的标准型规划问题为例进行代数分析： Max Z =4x1＋6x2 系数矩阵为 确定初始基变量 易知为基变量，为非基变量。 更新基变量 为使得变换后目标函数增幅最大，因系数较大故宜选为入基变量。由 可知道，随着增加，最先破坏非负要求（∵），因此最脆弱，被选为出基变量。从而为基变量，为非基变量。 第二次更新基变量 为使得变换后目标函数增幅最大，只能选为入基变量。由 可知道，随着增加，最先破坏非负要求（∵），因此最脆弱，被选为出基变量。从而为基变量，为非基变量。 此时目标函数表达式之系数皆为负，停止迭代计算。这种代数解法实际上就是单纯形算法。 3 规划问题的解 3.1解的相关概念 下面介绍线性规划问题解的基本概念。 (1) 可行解（可行域） 满足约束条件的变量的值，称为可行解。所有可行解之集合D为可行域。 (2) 最优解（最优值） 使目标函数取得最优值的可行解，称为最优解，对应的目标函数值为最优值。 (3) 基本解（基变量与非基变量） 设r(A)=m,并且B是A的m 阶非奇异的子矩阵（det(B)≠0),则称矩阵B为线性规划问题的一个基。 矩阵B=（P1，P2….Pm) ，其列向量Pj称为对应基B的基向量。 与基向量 Pj 相对应的变量xj就称为基变量，其余的就称为非基变量。 对于某一特定的基B，非基变量取0值的解，称为基本解。基本解的非零分量如果小于m则称为退化基本解。我们本章讨论都是假设不出现退化的情况。 , 其中B是基，N是非基；XB是基变量，XN是非基变量；X是基本解。 (4) 基本可行解（可行基） 满足非负约束条件的基本解，称为基本可行解（即）。此时对应的基阵B为可行基。 以max Z = 2x1 + 3x2 s.t. -2x1 + 3x2 ( 6 3x1- 2x2 ( 6 x1+x2 ( 4 x1, x2 ( 0 为例来说明本问题解的情况： 可行解：由点（O，Q1，Q2，Q3，Q4）围成的区域。 基本解：点（O，A，B，Q1，Q2，Q3，Q4） 基本可行解：点（O，Q1，Q2，Q3，Q4） 3.2解的图解表示 对于只有两个变量的线性规划问题可以用图解法求解： 变量用直角坐标系中的点表示； 约束条件用坐标系中的半空间或直线的交表示； 可行域是一个凸多面体； 目标函数用一组等值线表示，沿着增加或减少的方向移动，与可行域最后的交点就是最优解。 例如：求解问题 当目标函数改变后，等值线的方向会发生改变，如果等值线与某个约束对应的函数直线平行，则该函数值线上的所有可行解都是最优解，也就是说有无穷多个最优解。 3.3解的基本定理 凸集概念：设D是n维线性空间Rn的一个点集，