从三个层次培养学生的数学建模能力.docVIP

从三个层次培养学生的数学建模能力 　　摘 要：作为解决实际应用问题的主要能力――建模能力也逐渐被高中数学教学所重视，对建模能力的研究日渐深入。这里以“货币时间价值模型”的建立为例，分析数学建模能力的三个层次，探讨在高中教学中如何培养学生的数学建模能力。 　　关键词：三个层次；培养；建模能力 　　高中数学教学加强应用能力的培养已获得全社会的共识，教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验稿）》把发展学生的数学应用意识作为课程的基本理念之一，要求高中数学大力加强数学应用和联系实际，增强学生的应用意识，扩展学生的视野。作为解决实际应用问题的主要能力――建模能力也逐渐被高中数学教学所重视，对建模能力的研究日渐深入。这里我们以“货币时间价值模型”的建立为例，分析数学建模能力的三个层次，探讨在高中教学中如何培养学生的数学建模能力。 　　一、数学建模能力的三个层次 　　数学建模能力指对问题做相应的数学化，构建适当的数学模型，并对该模型求解返回到原问题中检验，最终将问题解决或作出解释的能力。需要说明的是，问题可以是现实的应用问题，也可以是纯数学问题；可以是常规，也可以是非常规的；可以是封闭的，也可以是开放的。荷兰著名数学家汉斯?弗洛登塔尔认为，公理化、形式化以及模型化等这些发展数学的过程统称为数学化，即数学化就是运用数学的思想方法来分析和研究客观世界的种种现象，并加以整理和组织的过程。数学模型是现实世界当中某一类运动变化过程及结构，一种模拟性的数学结构，是对现实模型理想化，是一种科学的抽象过程。 　　为了探索数学建模能力的结构层次，我们设计了构建货币的时间价值模型逐层深入的3个问题在我校（地级市一中）的高一、高二、高三各选2个班级加以测试。 　　1.问题1：初始本金a元，年利率为x，试探求n年后本利和An公式。 　　高一年级2个班108人中正确导出复利公式（模型）有96人，正确率为88.8%。在课本没有涉及金融投资知识，教师也没有讲过该公式的前提下，能有这么高的正确率出乎笔者的意料。通过座谈发现一部分学生是通过课外阅读记忆获取该模型公式；另一部分人则通过存款观察并通过对本问题思维运算获得的。而没有得出公式的学生既有语言理解能力上的不足，也有缺乏想象创造力的错误，当然也有数学抽象归纳能力上的欠缺。笔者认为数学建模能力是有结构层次的，初层结构是由观察力、阅读力、想象力、思维能力等基本能力组成，其中以思维能力为核心。 　　2.为了探索建模能力是否存在第二层次，对问题1进行深化处理得到问题2：如果利息不是一年结算一次，而是一年结算多次，初始本金a元，年利率为x，试探求n年后本利和Bn公式。 　　高二年级2个班111人中正确导出一年结算m次，有52人，正确率为46.8%。其中较为典型的解法是，首先对实际问题进行数学化处理，令利息一年结算m次，n年后共结算mn次，再进行建模解模的探析，联想每年结算一次复利公式，得到初始猜想，在赋值上发现错误，对照有，从而将模型调整为，并由数学归纳证明结论正确。由此可以看出，正是在初层结构的基础上，学生通过数学化达到构建模型和求解模型的，将实际问题归结为数学模型，因而笔者认为数学建模能力有第二层次，即中层结构（具体能力层）问题的数学能力，建模解模的实践能力。 　　3.为了继续探求数学建模能力的结构层次，笔者对问题2进行抽象形式化处理得到问题3：试对问题2进行分析，从中你能得到什么样的投资结论。 　　高三年级2个班109人，仅16人能基本回答正确，正确率约为14.7%，这从一定程度上说明当前的高中学生缺乏应用问题的训练，尤其是问题的数学模型不止一个时就会束手无策，教学中应加大数学建模培养力度。典型的解法是立足于问题2的模型，又构建了问题的新模型――二项式模型，展开 　　通过逐项比较不难得出，即ym随m单调递增，又得到结论：m越大，越大，即每年结算利息的次数越多，银行付出的本利和越多，对储户越有利（银行应避免该状况发生）。学生对上述问题的解决是在中层结构基础上，交叉运用了逻辑思维和运算分析最终上升为一种问题解决的综合能力。这应该是数学建模能力的归宿――高层次结构。 　　二、从三个层次在高中数学教学中培养学生的数学建模能力 　　1.既然数学建模能力基础（初层）是由诸多能力因素构成的，因此日常教学中就要有意识地进行针对性的渗透培养。构建系列有相当针对性的现实应用问题供建模教学使用，当然问题一方面要体现建模过程的特点，即问题的数学化，抽象简化，建模求解，检验修改（循环迭代）的过程；另一方面要避免传统文字应用题的通病――已将数学化过程甚至建模过程完成，问题不含多余干扰信息，条件不多不少，目标指向清楚，只需设出未知数列等式或不等式就可得到问题的解。 　　我们仍以“货币时间价值模型”为例，教