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在职研究生考试数学测试练习题微积分（1）设是微分方程的满足，的解，则（）（A）等于0.（B）等于1.（C）等于2.（D）不存在.解，将代入方程，得，又，，故，所以，选择B.（2）设在全平面上有，，则保证不等式成立的条件是（）（A），.（B），.（C），.（D），.解关于单调减少，关于单调增加，当，时，，选择A.（3）设在存在二阶导数，且，当时有，，则当时有（）（A）. （B）.（C）. （D）.解【利用数形结合】为奇函数，当时，的图形为递减的凹曲线，当时，的图形为递减的凸曲线，选择D.（4）设函数连续，且，则存在，使得（）（A）在内单调增加（B）在内单调减少（C）对任意的，有（D）对任意的，有解【利用导数的定义和极限的保号性】，由极限的的保号性，，在此邻域内，，所以对任意的，有，选择D.(5) 函数在下列哪个区间内有界.(A) (1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x)在(a , b)内有界.【详解】当x 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而，，，，，所以，函数f (x)在(1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间[a , b]上连续，则f (x)在闭区间[a , b]上有界；如函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界.（6）设f (x)在( , +)内有定义，且，，则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.(B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关.[ D ]【分析】考查极限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元，可将极限转化为.【详解】因为= a(令)，又g(0) = 0，所以，当a = 0时，，即g(x)在点x = 0处连续，当a 0时，，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(7) 设f (x) = |x(1 x)|，则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点.(B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点.[ C ]【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 1，当x ( , 0) (0 , )时，f (x) 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的极小值点.显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x ( , 0)时，f (x) = x(1 x)，，当x (0 , )时，f (x) = x(1 x)，，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(8) 设有下列命题：(1) 若收敛，则收敛.(2) 若收敛，则收敛.(3) 若，则发散.(4) 若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).[ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令，显然，分散，而收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由可得到不趋向于零(n )，所以发散.(4)是错误的，如令，显然，，都发散，而收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(9) 设在[a , b]上连续，且，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点，使得 f (a).(B) 至少存在一点，使得 f (b).(C) 至少存在一点，使得.(D) 至少存在一点，使得= 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知在[a , b]上连续，且，则由介值定理，至少存在一点，使得；另外，，由极限的保号性，至少存在一点使得，即. 同理，至少存在一点使得. 所以，(A) (B)