S的物理意义.doc

一直对拉氏变换复变量算子S的物理意义不清晰，也未作过多思考。今偶观二阶电路，忽然似有所获，仓促作糙文如下，予以总结思路。此行当非鄙人本业，文中所述均极基础，亦或错误多多，无妨，记于此，仅取告诫自己凡事需多思考、不可畏难之意。自勉。 ----老苏，2011-11-15 对于非正弦周期函数，只要满足绝对可积或平方可积条件，我们都可以用傅立叶级数将其展开为一系列的正弦基函数叠加，当然，结果仍是时域的函数。对于非正弦非周期函数，我们可视其仍为周期函数，只是周期为无穷大，采取傅立叶积分变换，将时域函数转换为频域函数加以分析，算子即对应信号的角频率，转换后的表达式的模（关于的函数）即表示幅度信息，幅角（关于的函数）即表示相位信息。前面所说的两种方法物理意义很直观，按部就班推导之，很便于外行理解。如果将傅立叶积分变换的再加上一维，即，这就是拉氏变换，显然，相较傅立叶变换，收敛域更广，原函数更易满足积分变换条件，要提出的问题是，加上一维以后，其物理意义是什么呢？表征什么呢？ 下面以求解典型的RLC二阶电路零输入响应为例，对照t域与S域的分析结果，试着理解拉氏变换的物理意义，后面顺便提出阻尼比的概念，因为均是对照t域分析的结果表述的，所以相信更直观，更易为一般人所接受。 一．电路图 1．时域分析 根据KVL： ---- （1） 此为二阶常系数齐次微分方程，设，特征方程为： ， 据韦达定理解特征方程得： 其中，令： ---- (衰减系数-见后文即可明白) ---- （谐振角频率） ---- （衰减谐振角频率） 显然，根据根的判别式可知，r的根分为两个不同实根、一个单实根、一对共轭复根3种情况，（判别式大于0，为过阻尼，判别式等于0，为临界阻尼，参见本文最后对阻尼比的解释），这里仅以第三种（共轭复根）情况为例进行分析： 令： 得常系数齐次微分方程（1）的通解为： 其中：， C1、C2由电路初始条决定 由时域解析法解得的上述结果一目了然，电路响应（此即为电容电压）为正弦（或曰余弦，一样）振荡波形， 振幅 振荡角频率 初相角 简要分析之： 1）、，即， 振荡的振幅以指数规律衰减，R大，则衰减快，反之衰减慢。因为，所以R大，则小，振荡频率低，反之振荡频率高。网上有哪些信誉好的足球投注网站一波形贴于此，很直观。（图中k即本处的C） 2）、，即， 振幅固定为C，因R等于0，所以振荡频率为 也粘贴波形于此：（同上，图中k即本处的C） 3）、对电阻R的解释 所谓振荡，亦即电容C与电感L交换能量，如将电感电流的解析式写出，则很容易看出，且其两者相位差90度。结合1、2的分析可知，电阻R是决定电路是否振荡的关键因素，也是决定振荡幅值、振荡频率的关键因素。如果R不为零，电路则衰减振荡，R大则衰减快，振荡频率也高；如果R为零，则为持续等幅振荡，零衰减。 说到这里，还未涉及本文所述宗旨：拉氏变换的复变量算子S是如何反应（表征）振荡幅值及振荡频率信息的？经过上面的时域分析，再将同一个问题转换为S域分析，两者对照，就发现其实很明了。以下即为S域简单分析，S域与t域本质相同，拉氏变换本身就是为了便于解微分方程而产生，所以以下分析模式基本雷同。 2．S域分析 对根据KVL列出的方程（1）等式两边取拉氏变换： 特征方程为： 不难发现，s的根与微分方程的特征根一致： 根据根的判别式，s的根也分为三种情况：1为两实根，位于负实轴；2为相同的两实根，位于负实轴；3为一对共轭复根，即时，。至此，对照时域分析的结果就很清楚了：s的零极点分布图上，s在实轴的投影即为,在虚轴的投影即为，表征系统振荡的幅值信息，表征系统振荡的角频率信息。 二、顺便提一下阻尼比的概念 设输入为， 拉氏变换式为：， 系统传递函数为：， 二阶系统的标准形式为： 其中，， 由阻尼比的表达式可见，R是决定阻尼比大小的关键因素，当 1）、时， 称为过阻尼，系统输出无振荡，由初始值以指数规律趋于稳态值，理论时间为无穷大，无超调。 2）时， 称为临界阻尼，系统响应为介于振荡与不振荡之间。 3）时， 称为欠阻尼，系统输出振荡，R大于0时，衰减振荡，R等于零时，等幅振荡无衰减。 什么时候为增幅振荡呢？，以此处关于阻尼比的定义来看是不可能小于0的，以时域解析式看，增幅振荡意味着，而，亦不会小于0，什么状况下阻尼比小于0、即负阻尼呢？容再思之。 1