中南大学 机械振动复习材料.doc

三、如图1所示，三个刚性齿轮啮合，其转动惯量分别为I1、I2、I3，齿数分别为Z1、Z2、Z3，轴1、轴2、轴3的扭转刚度分别为k1、k2、 k3，试求该系统作微幅振动时的固有频率。 （15分） 解：（1）建立坐标，求各轴转角之间的关系：（3分） 设轴1转角为x1。则轴2的转角x2、轴3的转角x3分别为： x2=x1 x3=x2=×x1=x1 （2）系统的动能：（4分） ET =I1+I2+I3=[ I1+ I2()2+ I3()2] （3）系统的势能：（4分） U=k1x+k2x+k3x=[ k1+ k2()2+ k3()2] x （4）求系统的固有频率：（4分） 由d(U+ET)=0得： [ I1+ I2()2+ I3()2]+ [ k1+ k2()2+ k3()2]x1 = 0 (= [ k1+ k2()2+ k3()2]/ [ I1+ I2()2+ I3()2] 四、如图2所示系统：k1=k，k2=3k、k3=6k、k4=3k，（1）试写出其运动微分方程组；（2）求出系统的固有频率（3）在图示运动平面上，绘出与固有频率对应的振型图。 （15分） 解：（1）按图示取坐标：（2分） 取x1，x2为描述系统运动的广义坐标，即{x}={x1，x2}T 各个自由度的原点均取静平衡位置，以向上、向右为坐标正方向。 （2）列出系统的质量矩阵和刚度矩阵（3分） [M]= [K]= （3）列出系统的运动微分方程（2分） {}+{}=0 （4）求系统的固有频率（4分） = (4k-m(2)(9k- m(2)= 0 (= (= （5）求系统的振型、绘制振型图（4分） 由有： （4k-m(2）u11 =0 （4k-(m）u22=0 由此可知：u21与 u11、u12与 u22毫不相关，即该系统是两个独立振动的单自由度系统。 令u11= u22=1 即振型为： {u1}={1，0}T {u2}={0，1}T 固有频率为(1 时振型图 固有频率为(2时振型图 五、如图3所示系统，试用能量法求出其质量矩阵、刚度矩阵。假设为均质杆。 （10分） 图1 解：（1）取坐标：（2分） 取yA，yB，y1，y2为描述系统运动的广义坐标，即{x}={yA，yB，y1，y2}T 各个自由度的原点均取静平衡位置，以向上为坐标正方向。 （2）系统的动能：（2分） （3）系统的势能：（2分） U=k1y+k2y+k3(yA-y1)2+k4(yB-y2)2 （4）求质量矩阵：（2分） （5）求刚度矩阵：（2分） k11= = k3 k12= =0= k21 k13= =- k3= k31 k14= = 0 = k41 k22= = k4 k23= = 0 =k32 k24= =- k4=k42 k33= = k1+k3 k34= = 0 = k43 k44= = k2+k4 [K] = 2、一质量为、转动惯量为的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧约束，如图2所示，求系统的固有频率。(15分) 解：取圆柱体的转角为坐标，逆时针为正，静平衡位置时，则当有转角时，系统有： 由可知： 即： （rad/s） 3、求如图3所示的三自由度弹簧质量系统的固有频率和振型。(25分)（设 ） 解：以静平衡位置为原点，设的位移为广义坐标，系统的动能和势能分别为 求偏导得到： 得到系统的广义特征值问题方程： 和频率方程： 即： 解得：和 所以： 将频率代入广义特征值问题方程解得： ； ； ； 三、计算题（45分） 3.1、（14分）如图所示中，两个摩擦轮可分别绕水平轴O1，O2转动，无相对滑动；摩擦轮的半径、质量、转动惯量分别为r1、m1、I1和r2、m2、I2。轮2的轮缘上连接一刚度为k的弹簧，轮1的轮缘上有软绳悬挂质量为m的物体，求： 1）系统微振的固有频率；（10分） 2）系统微振的周期；（4分）。 选取广义坐标x或θ； 确定m的位移与摩擦轮转角的关系，（质量m的位移与摩擦轮转动的弧长及弹簧的变形量相等）；， 写出系统得动能函数Et、势能函数U； 令d(Et+U)=0.求出广义质量和刚度 求出，进一步求出T 3.2、