实变函数-教学大纲实变函数-教学大纲.docVIP

实变函数教学大纲 Functions of Real Variables 一、基本信息 适用专业：数学与应用数学专业 课程编号： 教学时数：72学时 学 分：4 课程性质：专业核心课 开课系部：数学与计算机科学院使用教材：《实变函数论与泛函分析》（上册）2版 曹广福.高等教育出版社 [1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社； [2] W. Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W. Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民强《实变函数论》第2版.北京大学出版社. ?二、课程介绍 实变函数以Lebesgue测度与Lebesgue积分理论为核心内容，为学生提供近代分析的基础知识和基本训练，提高分析论证近代数学的能力. 三、考试形式 考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，期末考试百分之八十。期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。 四、课程教学内容及课时分配 第一章???? 集合 要求 1、域的概念 2、Bernstein定理、Zermelo选择公理 3、进制表示 4、Bolzano－Weirstrass定理 5、?Borel有限覆盖定理 主要内容： 集合以及集合列的上、下极限，集合的势，进制表示法，维空间中的点集，Bolzano—Weirstrass定理。 重点 集合列的上、下限集、可数集、Bolzano—Weirstrass定理 课时安排（15学时） 1、集合的基本运算及集合列的上、下限集、域的概念 3学时 2、势的定义与Bernstein定理 Zermelo选择公理 3学时 3、可数集与连续势以及进制表示 3学时 4、聚点、内点、边界点以及Bolzano－Weirstrass定理 3学时 5、开集、闭集以及Borel有限覆盖定理 3学时 第二章 测度论 要求 1、掌握外测度的定义及性质 2、掌握可测集的定义及性质 3、了解开集的可测性和L－可测集的结构 主要内容： 外测度与可测集的定义及性质，开集的可测性，Lebesgue可测集的结构 重点 可测集的定义及性质，开集的可测性 课时安排（12学时） 1、外测度的定义及性质 4学时 2、可测集的定义及性质 4学时 3、开集的可测性和L－可测集的结构 4学时 ? ? 第三章 可测函数 要求： 1、了解可测函数的定义及性质 2、Egoroff定理、Lusin定理 4、了解几乎处处收敛和依测度收敛 主要内容： 可测函数的定义及性质，可测函数的逼近理论 重点 可测函数的性质、逼近理论、Egoroff定理、Lusin定理、依测度收敛 课时安排：（12学时） 1、可测函数及其运算 4学时 2、Egoroff定理、Lusin定理 4学时 3、几乎处处收敛与依测度收敛 4学时 第四章 Lebesgue积分 要求： 1、Levi引理和Fatou引理 2、?Lebesgue积分极限定理 3、 4、Lebesgue积分与Riemann积分的关系，以及Riemann可积的充要条件 5、Fubini定理 6、 主要内容： 可测函数的积分，Lebesgue积分的极限定理，Lebesgue积分与Riemann积分之间的关系，重积分与累次积分，Fubini定理，微分与积分的关系 重点 Levi引理、Fatou引理、积分的绝对连续性、Lebesgue积分极限定理、Lebesgue积分与Riemann积分的关系 课时安排：（20学时） 1、非负可测函数的积分，Levi引理和Fatou引理 4学时 2、可测函数的积分，积分的绝对连续性以及Lebesgue控制收敛定理 4学时 3、积分的连续性 2学时 4、? LebesgueRiemann积分的关系，以及Riemann可积的充要条件 3学时 5、? Fubini定理 3学时 6、? 4学时 ? 第五章 空间简介 要求： 1、空间定义，不等式，不等式 2、空间中的收敛与完备性、可分性 3、空间中的内积，正交系 4、了解广义Fourier级数，不等式与不等式 主要内容： 空间定义，不等式，不等式，空间中的收敛与完备性、可分性，空间中的内积，正交系，广义Fourier级数，不等式与不等式 重点 空间定义、空间中的收敛与完备性、可分性 课时安排（13学时） 1、不等式，不等式 3学时 2、 3学时 3、?